Question

10．E、M、N依次是正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱AB、AA₁、A₁D₁的中點，則平面EMN與面ABCD所成的二面角的大小為arctan$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 如圖所示，延長NM交直線DA與點F，連接EF，則直線EF為平面EMN與面ABCD的交線．過點A作AQ⊥EF，垂足為Q，連接MQ，∵AM⊥平面ABCD，則EF⊥MQ．∠AQM即為平面EMN與面ABCD所成的二面角的平面角．
利用正方體的性質與直角三角形的邊角關系即可得出．

解答 解：如圖所示，延長NM交直線DA與點F，連接EF，則直線EF為平面EMN與面ABCD的交線．
過點A作AQ⊥EF，垂足為Q，連接MQ，∵AM⊥平面ABCD，則EF⊥MQ．
∴∠AQM即為平面EMN與面ABCD所成的二面角的平面角．
不妨取AB=2．
∵E、M、N依次是正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱AB、AA₁、A₁D₁的中點，
A₁D₁∥AD，
∴AM=AF=AE=1，∴$AQ=\frac{\sqrt{2}}{2}$．
在RT△AMQ中，tan∠AQM=$\frac{AM}{AQ}$=$\sqrt{2}$．
∴∠AQM=arctan$\sqrt{2}$．
故答案為：arctan$\sqrt{2}$．

點評 本題考查了正方體的性質與直角三角形的邊角關系、二面角，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．