Question

5．若$f（n）=1+\frac{1}{{\sqrt{1}}}+\frac{1}{{\sqrt{2}}}+\frac{1}{{\sqrt{3}}}+…+\frac{1}{{\sqrt{n}}}$，（其中n＞2，且n∈N），$g（n）=2\sqrt{n}$，（其中n＞2，且n∈N），通過合情推理，試判斷f（n）與g（n）的大小關系，并證明你的結論．

Answer 1

分析 當n＞2，且n∈N時，f（n）＜g（n），利用數學歸納法，可證得結論．

解答 解：當n＞2，且n∈N時，f（n）＜g（n），證明如下：
當n=3時，f（n）=$1+\frac{1}{\sqrt{1}}+\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}}$，$g（n）=2\sqrt{3}$，f（n）＜g（n）成立，
假定n=k（k＞2，且k∈N）時，f（k）＜g（k）成立，
即$1+\frac{1}{\sqrt{1}}+\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}}+…+\frac{1}{\sqrt{k}}$＜2$\sqrt{k}$，
則當n=k+1時，$1+\frac{1}{\sqrt{1}}+\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}}+…+\frac{1}{\sqrt{k}}$+$\frac{1}{\sqrt{k+1}}$＜2$\sqrt{k}$+$\frac{1}{\sqrt{k+1}}$
∵（k+$\frac{1}{2}$）²=k²+k+$\frac{1}{4}$＞k²+k，
∴$\sqrt{{k}^{2}+k}$＜k+$\frac{1}{2}$，
∴2$\sqrt{{k}^{2}+k}$＜2k+1，
∴2$\sqrt{{k}^{2}+k}$+1＜2（k+1），
∴2$\sqrt{k}$+$\frac{1}{\sqrt{k+1}}$＜2$\sqrt{k+1}$，
即$1+\frac{1}{\sqrt{1}}+\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}}+…+\frac{1}{\sqrt{k}}$+$\frac{1}{\sqrt{k+1}}$＜2$\sqrt{k+1}$，
綜上可得：當n＞2，且n∈N時，f（n）＜g（n）恒成立．

點評 本題考查的知識點是不等式的證明，數學歸納法，難度中檔．