Question

17．設a₁，a₂，a₃為正數，求證：$\frac{{a}_{1}{a}_{2}}{{a}_{3}}$+$\frac{{a}_{2}{a}_{3}}{{a}_{1}}$+$\frac{{a}_{3}{a}_{1}}{{a}_{2}}$≥a₁+a₂+a₃．

Answer 1

分析 利用基本不等式，即可證明結論．

解答 證明：∵a₁，a₂，a₃為正數，
∴$\frac{{a}_{1}{a}_{2}}{{a}_{3}}$+$\frac{{a}_{2}{a}_{3}}{{a}_{1}}$≥2a₂，$\frac{{a}_{2}{a}_{3}}{{a}_{1}}$+$\frac{{a}_{3}{a}_{1}}{{a}_{2}}$≥2a₃，$\frac{{a}_{1}{a}_{2}}{{a}_{3}}$+$\frac{{a}_{3}{a}_{1}}{{a}_{2}}$≥2a₁，
三式相加，整理可得$\frac{{a}_{1}{a}_{2}}{{a}_{3}}$+$\frac{{a}_{2}{a}_{3}}{{a}_{1}}$+$\frac{{a}_{3}{a}_{1}}{{a}_{2}}$≥a₁+a₂+a₃．

點評 本題考查不等式的證明，考查基本不等式的運用，正確運用基本不等式是關鍵．