Question

6．如圖所示，在△OAB中，M、N分別是OA、OB的中點，點P在梯形ABNM區域（含邊界）上移動，且$\overrightarrow{OP}=x\overrightarrow{OM}+y\overrightarrow{ON}$，則4x+3y的取值范圍是[3，8]．

Answer 1

分析 根據P的位置分類討論，利用向量的三角形法即可得解．

解答 解：P在MN上，可證：x+y=1，可得：4x+3y=4x+3-3x=x+3，x=0時，最小3，
P在AB上，可證：x+y=2，可得：4x+3y=4x+3（2-x）=x+6，x=2時，最大8，
則P落在陰影內，則有1＜4x+3y＜2．
故4x+3y的取值范圍是[3，8]，
故答案為：[3，8]．

點評 本題考查向量的三角形法則，向量是數形結合的最好的工具，在解題時注意發揮向量的優點，考查了轉化思想和數形結合思想，屬于中檔題．