Question

18．f（x）是定義在（0，+∞）上的非負可導函數，且滿足xf′（x）-f（x）≤0．對任意正數a，b，若a＜b，則必有（　�。�

• A． bf（a）≤af（b）
• B． af（b）≤bf（a）
• C． bf（a）≤f（a）
• D． af（a）≤f（b）

Answer 1

分析 由已知條件令F（x）=$\frac{f（x）}{x}$，判斷出F′（x）≤0，據導函數的符號與函數單調性的關系判斷出F（x）的單調性，利用單調性判斷出F（a）與F（b）的關系，利用不等式的性質得到結論．

解答 解：∵f（x）是定義在（0，+∞）上的非負可導函數且滿足xf′（x）≤f（x），
令F（x）=$\frac{f（x）}{x}$，則F′（x）=$\frac{xf′（x）-f（x）}{{x}^{2}}$，
∵xf′（x）-f（x）≤0，
∴F′（x）≤0，
∴F（x）=$\frac{f（x）}{x}$在（0，+∞）上單調遞減或常函數
∵對任意的正數a、b，a＜b
∴$\frac{f（a）}{a}$≥$\frac{f（b）}$，
∵任意的正數a、b，a＜b，
∴af（b）≤bf（a）
故選：B．

點評 函數的導函數符號確定函數的單調性：當導函數大于0時，函數單調遞增；導函數小于0時，函數單調遞減．