Question

10．已知函數f（x）=x³+$\frac{5}{2}$x²+ax+b（a，b為常數），其圖象是曲線C．
（1）當a=-2時，求函數f（x）的單調減區間；
（2）設函數f（x）的導函數為f′（x），若存在唯一的實數x₀，使得f（x₀）=x₀與f′（x₀）=0同時成立，求實數b的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）先求原函數的導數，根據f′（x）＜0求得的區間是單調減區間，即可；
（2）由于存在唯一的實數x₀，使得f（x₀）=x₀與f′（x₀）=0同時成立，則$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{3}+\frac{5}{2}{x}^{2}+（a-1）x+b=0}\\{3{x}^{2}+5x+a=0}\end{array}\right.$存在唯一的實數根x₀，即b=2x³+$\frac{5}{2}$x²+x存在唯一的實數根x₀，就把問題轉化為求函數最值問題

解答 解：（1）當a=-2時，函數f（x）=x³+$\frac{5}{2}$x²-2x+b
則f′（x）=3x²+5x-2=（3x-1）（x+2）
令f′（x）＜0，解得-2＜x＜$\frac{1}{3}$，
所以f（x）的單調遞減區間為（-2，$\frac{1}{3}$）；
（2）函數f（x）的導函數為由于存在唯一的實數x₀，使得f（x₀）=x₀與f′（x₀）=0同時成立，
則$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{3}+\frac{5}{2}{x}^{2}+（a-1）x+b=0}\\{3{x}^{2}+5x+a=0}\end{array}\right.$即x³+$\frac{5}{2}$x²+（-3x²-5x-1）x+b=0存在唯一的實數根x₀，
故b=2x³+$\frac{5}{2}$x²+x存在唯一的實數根x₀，
令y=2x³+$\frac{5}{2}$x²+x，則y′=6x²+5x+1=（2x+1）（3x+1）=0，故x=-$\frac{1}{2}$或x=-$\frac{1}{3}$，
則函數y=2x³+$\frac{5}{2}$x²+x在（-∞，-$\frac{1}{2}$），（-$\frac{1}{3}$，+∞）上是增函數，在（-$\frac{1}{2}$，-$\frac{1}{3}$）上是減函數，
由于x=-$\frac{1}{2}$時，y=-$\frac{1}{8}$；x=-$\frac{1}{3}$時，y=-$\frac{7}{54}$；
故實數b的取值范圍為：（-∞，-$\frac{7}{54}$）∪（-$\frac{1}{8}$，+∞）；

點評 本題以函數為載體，考查導數知識的運用，考查函數的單調性，同時還考查了方程根的問題，一般要轉化為函數的最值來解決．