Question

19．在幾何體ABCDE中，四邊形ABCD是正方形，CE⊥平面ADE且CE=EF=2，F是線段DE的中點．
（I）求證：平面BCF⊥平面CDE；
（II）求二面角A-BF-E的平面角的正弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）推導出AD⊥CD，AD⊥CE，從而AD⊥平面CDE，進而BC⊥平面CDE，由此能證明平面BCF⊥平面CDE．
（Ⅱ）以D為原點，DA為x軸，DE為y軸，過D作EC的平行線為z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出二面角A-BF-E的平面角的正弦值．

解答 證明：（Ⅰ）∵四邊形ABCD是正方形，∴AD⊥CD，
∵CE⊥平面ADE，AD?平面ADE，∴AD⊥CE，
∵CD∩CE=C，∴AD⊥平面CDE，
∵BC∥AD，∴BC⊥平面CDE，
∵BC?平面BCF，∴平面BCF⊥平面CDE．
解：（Ⅱ）以D為原點，DA為x軸，DE為y軸，過D作EC的平行線為z軸，
建立空間直角坐標系，
則A（2$\sqrt{5}$，0，0），B（2$\sqrt{5}$，4，2），F（0，2，0），E（0，4，0），
$\overrightarrow{BA}$=（0，-4，-2），$\overrightarrow{BF}$=（-2$\sqrt{5}$，-2，-2），$\overrightarrow{BE}$=（-2$\sqrt{5}$，0，-2），
設平面ABF的法向量$\overrightarrow{n}$=（a，b，c），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BA}=-4b-2c=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BF}=-2\sqrt{5}a-2b-2c=0}\end{array}\right.$，取b=1，得$\overrightarrow{n}$=（$\frac{\sqrt{5}}{5}$，1，-2），
設平面BEF的法向量$\overrightarrow{m}$=（x，y，z），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{BE}=-2\sqrt{5}x-2z=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{BF}=-2\sqrt{5}x-2y-2z=0}\end{array}\right.$，取x=1，得$\overrightarrow{m}$=（1，0，-$\sqrt{5}$），
設二面角A-BF-E的平面角為θ，
則cosθ=$\frac{|\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{\frac{11\sqrt{5}}{5}}{\sqrt{\frac{26}{5}}•\sqrt{6}}$=$\frac{11}{2\sqrt{39}}$，
∴sinθ=$\sqrt{1-（\frac{11}{2\sqrt{39}}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{1365}}{78}$．
二面角A-BF-E的平面角的正弦值為$\frac{\sqrt{1365}}{78}$．

點評 本題考查面面垂直的證明，考查二面角的正弦值的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意向量法的合理運用．