Question

5．已知a=${∫}_{0}^{\frac{π}{2}}$（-cosx）dx，則（ax+$\frac{1}{2ax}$）⁹展開式中，x³項的系數為-$\frac{21}{2}$．

Answer 1

分析 求出被積函數，由定積分公式求出a，求出二項式的通項公式，化簡整理，令9-2r=3，求出r，即可得到所求系數．

解答 解：a=${∫}_{0}^{\frac{π}{2}}$（-cosx）dx=-sinx|${\;}_{0}^{\frac{π}{2}}$
=-（sin$\frac{π}{2}$-sin0）=-1，
則（-x-$\frac{1}{2x}$）⁹展開式中的通項公式為${C}_{9}^{r}$（-x）^9-r（-$\frac{1}{2x}$）^r
=-（$\frac{1}{2}$）^r${C}_{9}^{r}$x^9-2r，r=0，1，…，9，
由9-2r=3，可得r=3，
x³項的系數為-（$\frac{1}{2}$）³${C}_{9}^{3}$=-$\frac{21}{2}$．
故答案為：-$\frac{21}{2}$．

點評 本題考查定積分的運算和二項式定理的運用：求指定項的系數，考查運算能力，屬于中檔題．