Question

15．某苗木公司要為一小區種植3棵景觀樹，每棵樹的成本為1000元，這種樹的成活率為$\frac{2}{3}$，有甲、乙兩種方案如下；
甲方案：若第一年種植后全部成活，小區全額付款8000元；若第一年成活率不足$\frac{1}{2}$，終止合作，小區不付任何款項；若成活率超過$\frac{1}{2}$，但沒有全成活，第二年公司將對沒有成活的樹補種，若補種的樹全部成活，小區付款8000元，否則終止合作，小區付給公司2000元．
乙方案：只種樹不保證成活，每棵樹小區付給公司1300元．
（1）若實行甲方案，求小區給苗木公司付款的概率；
（2）公司為獲得更大利潤，應選擇哪種方案？

Answer 1

分析 （1）設小區付款為事件A，利用n次重復試驗中事件A恰好發生k次的概率計算公式能求出小區給苗木公司付款的概率．
（2）設甲方案的利潤ξ可能取值為：-3．-2，4，5，分別求出相應的概率，由此能求出ξ的數學期望，再求出乙方案的利潤，從而得到苗木公司選用甲方案的利潤的均值更大．

解答 解：（1）設小區付款為事件A，
則$P（A）=C_3^2{（\frac{2}{3}）^2}\frac{1}{3}+{（\frac{2}{3}）^3}=\frac{20}{27}$，
所以小區給苗木公司付款的概率為$\frac{20}{27}$．…（5分）
（2）設甲方案的利潤ξ可能取值為：-3．-2，4，5，…（6分）
$P（ξ=-3）=C_3^1{（\frac{1}{3}）^2}\frac{2}{3}+{（\frac{1}{3}）^3}=\frac{7}{27}$，
$P（ξ=-2）=C_3^2{（\frac{2}{3}）^2}\frac{1}{3}•\frac{1}{3}=\frac{4}{27}$，
$P（ξ=4）=C_3^2{（\frac{2}{3}）^2}\frac{1}{3}•\frac{2}{3}=\frac{8}{27}$，
$P（ξ=5）={（\frac{2}{3}）^3}=\frac{8}{27}$，
∴ξ的分布列為：

ξ	-3	-2	4	5
P	$\frac{7}{27}$	$\frac{4}{27}$	$\frac{8}{27}$	$\frac{8}{27}$

E（ξ）=$-3×\frac{7}{27}+（-2）×\frac{4}{27}+4×\frac{8}{27}+5×\frac{8}{27}$=$\frac{43}{27}$，…（10分）
乙方案的利潤0.9千元，
∵0.9$＜\frac{43}{27}$，∴苗木公司選用甲方案的利潤的均值更大．…（12分）

點評 本題考查概率的求法，考查離散型隨機變量的分布列及數學期望的求法和應用，是中檔題，在歷年高考中都是必考題型之一．