Question

18．對于平面向量$\overrightarrow a$=（x，y），我們定義它的一種“新模長”為|x+y|+|x-y|，仍記作$|{\overrightarrow a}$|，即|${\overrightarrow a}$|=|x+y|+|x-y|．在這種“新模長”的定義下，給出下列命題：
①對平面內的任意兩個向量$\overrightarrow a，\overrightarrow b$，總有$|{\overrightarrow a-\overrightarrow b}|≤|{\overrightarrow a}|+|{\overrightarrow b}$|；
②設O為坐標原點，點P在直線y=x-1上運動，則$|{\overrightarrow{OP}}$|的最小值=1；
③設O為坐標原點，點P在圓O：x²+y²=1上運動，則$|{\overrightarrow{OP}}$|的最大值=2；
④設O為坐標原點，點P在橢圓$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{1}$=1上運動，則$|{\overrightarrow{OP}}$|的最小值=2；
寫出所有正確命題的序號①②③．

Answer 1

分析 根據∵“新模長”|${\overrightarrow a}$|=|x+y|+|x-y|．逐一分析給定的四個命題的真假，可得答案．

解答 解：∵“新模長”|${\overrightarrow a}$|=|x+y|+|x-y|．
∴①對平面內的任意兩個向量$\overrightarrow a，\overrightarrow b$，總有$|{\overrightarrow a-\overrightarrow b}|≤|{\overrightarrow a}|+|{\overrightarrow b}$|，當且僅當兩個向量$\overrightarrow a，\overrightarrow b$反向時取等號，故正確；
②設O為坐標原點，點P在直線y=x-1上運動，則P為（$\frac{1}{2}$，-$\frac{1}{2}$）時，$|{\overrightarrow{OP}}$|取最小值=1，故正確；
③設O為坐標原點，點P在圓O：x²+y²=1上運動，則P為（0，±1），（±1，0）時，$|{\overrightarrow{OP}}$|的最大值=2，故正確；
④設O為坐標原點，點P在橢圓$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{1}$=1上運動，則P為（±$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，±$\frac{2\sqrt{5}}{5}$）時，$|{\overrightarrow{OP}}$|的最小值=$\frac{4\sqrt{5}}{5}$，故錯誤；
故正確命題的序號為：①②③，
故答案為：①②③

點評 本題以命題的真假判斷與應用為載體，考查了新定義：“新模長”|${\overrightarrow a}$|=|x+y|+|x-y|．正確理解新定義，是解答的關鍵．