Question

20．如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AB⊥AD，AB∥CD，AB=2AD=2CD=2，BC=$\sqrt{2}$，且PC⊥CD，BC⊥PA，E是PB的中點．
（1）求證：平面PBC⊥平面EAC；
（2）若二面角P-AC-E的正弦值為$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$，求直線PA與平面EAC所成角的余弦值．

Answer 1

分析 （1）證明平面EAC⊥平面PBC，只需證明AC⊥平面PBC，即證AC⊥PC，AC⊥BC；
（2）根據題意，建立空間直角坐標系，用坐標表示點與向量，求出面PAC的法向量，由此能求出直線PA與平面EAC所成角的余弦值．

解答 證明：（1）∵PC⊥平面ABCD，AC?平面ABCD，
∴AC⊥PC，
∵AB=2，AD=CD=1，∴AC=BC=$\sqrt{2}$，
∴AC²+BC²=AB²，∴AC⊥BC，
又BC∩PC=C，∴AC⊥平面PBC，
∵AC?平面EAC，∴平面PBC⊥平面EAC．
解：（2）取AB中點F，以C為原點，CF為x軸，CD為y軸，CP為z軸，建立空間直角坐標系，
∵AB=2AD=2CD=2，BC=$\sqrt{2}$，且PC⊥CD，BC⊥PA，E是PB的中點，
∴則C（0，0，0），A（1，1，0），B（1，-1，0），設P（0，0，a）（a＞0），
則E（$\frac{1}{2}$，-$\frac{1}{2}$，$\frac{a}{2}$），$\overrightarrow{CA}$=（1，1，0），$\overrightarrow{CP}$=（0，0，a），$\overrightarrow{CE}$=（$\frac{1}{2}，-\frac{1}{2}，\frac{a}{2}$）．
設平面PAC的法向量$\overrightarrow{m}$=（x，y，z），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{CA}=x+y=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{CP}=az=0}\end{array}\right.$，取x=1，得$\overrightarrow{m}$=（1，-1，0）．
設$\overrightarrow{n}$=（x，y，z）為面EAC的法向量，
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{CA}=x+y=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{CE}=x-y+az=0}\end{array}\right.$，取x=a，得$\overrightarrow{n}$=（a，-a，-2），
∵二面角P-AC-E的正弦值為$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$，
∴依題意，|cos＜$\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}$＞|=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{a}{\sqrt{{a}^{2}+2}}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，解得a=2．
于是$\overrightarrow{n}$=（2，-2，-2），$\overrightarrow{PA}$=（1，1，-2）．
設直線PA與平面EAC所成角為θ，則sin θ=|cos＜$\overrightarrow{PA}$，$\overrightarrow{n}$＞|=$\frac{\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{PA}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{\sqrt{2}}{3}$，
直線PA與平面EAC所成角的余弦值為$\sqrt{1-（\frac{\sqrt{2}}{3}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{7}}{3}$．

點評 本題考查面面垂直，考查線面角，解題的關鍵是掌握面面垂直的判定，利用向量的方法研究線面角，屬于中檔題．