Question

18．如圖，在矩形ABCD中，對角線AC與BD相交于點O，過點A作AE∥BD，過點D作ED∥AC，兩線相交于點E．
（1）求證：四邊形AODE是菱形；
（2）連接BE，交AC于點F．若BE⊥ED于點E，求∠AOD的度數．

Answer 1

分析 （1）先證明四邊形AODE是平行四邊形，再由矩形的性質得出OA=OC=OD，即可得出四邊形AODE是菱形；
（2）連接OE，由菱形的性質得出AE=OB=OA，證明四邊形AEOB是菱形，得出AB=OB=OA，證出△AOB是等邊三角形，得出∠AOB=60°，再由平角的定義即可得出結果．

解答 （1）證明：∵AE∥BD，ED∥AC，
∴四邊形AODE是平行四邊形，
∵四邊形ABCD是矩形，
∴OA=OC=$\frac{1}{2}$AC，OB=OD=$\frac{1}{2}$BD，AC=BD，
∴OA=OC=OD，
∴四邊形AODE是菱形；
（2）解：連接OE，如圖所示：
由（1）得：四邊形AODE是菱形，
∴AE=OB=OA，
∵AE∥BD，
∴四邊形AEOB是平行四邊形，
∵BE⊥ED，ED∥AC，
∴BE⊥AC，
∴四邊形AEOB是菱形，
∴AE=AB=OB，
∴AB=OB=OA，
∴△AOB是等邊三角形，
∴∠AOB=60°，
∴∠AOD=180°-60°=120°．

點評 本題考查了菱形的判定與性質、矩形的性質、等邊三角形的判定與性質、平行四邊形的判定；熟練掌握矩形的性質和菱形的判定與性質，證明四邊形AEOB是菱形再進一步證出△AOB是等邊三角形是解決問題（2）的關鍵．