Question

9．已知點$A（-\sqrt{3}，0）$和$B（\sqrt{3}，0）$，動點C引A、B兩點的距離之和為4．
（1）求點C的軌跡方程；
（2）點C的軌跡與直線y=x-2交于D、E兩點，求弦DE的長．

Answer 1

分析 （1）運用橢圓的定義和a，b，c的關系，可得a=2，b=1，進而得到橢圓方程；
（2）點C的軌跡與直線y=x-2聯立，得5x²-16x+12=0，利用弦長公式，由此能求出線段DE的長．

解答 解：（1）由橢圓的定義可知，曲線是以A，B為焦點的橢圓，
且2a=4，即a=2，c=$\sqrt{3}$，b=1，
即有點C的軌跡方程為$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1；
（2）點C的軌跡與直線y=x-2聯立，得5x²-16x+12=0，
設D（x₁，y₁）、E（x₂，y₂），則x₁+x₂=$\frac{16}{5}$，x₁x₂=$\frac{12}{5}$，
∴|DE|=$\sqrt{2}•\sqrt{\frac{256}{25}-4×\frac{12}{5}}$=$\frac{4\sqrt{2}}{5}$．
故線段DE的長為$\frac{4\sqrt{2}}{5}$．

點評 本題考查橢圓的方程和性質，涉及弦長公式，屬于中檔題．