Question

20．設正數x，y滿足x²+$\frac{{y}^{2}}{2}$=1，則x•$\sqrt{1+{y}^{2}}$的最大值為（　�。�

• A． $\frac{3}{2}$
• B． $\frac{3\sqrt{2}}{2}$
• C． $\frac{3}{4}$
• D． $\frac{3\sqrt{2}}{4}$

Answer 1

分析 構造思想，再利用基本不等式的性質即可得出．

解答 解：由題意x＞0，y＞0，
x•$\sqrt{1+{y}^{2}}$=$\sqrt{{x}^{2}（1+{y}^{2}）}=\sqrt{{x}^{2}•2（\frac{1}{2}+\frac{{y}^{2}}{2}）}$=$\sqrt{2}•\sqrt{{x}^{2}（\frac{1}{2}+\frac{{y}^{2}}{2}）}$$≤\sqrt{2}×\frac{{x}^{2}+\frac{1}{2}+\frac{{y}^{2}}{2}}{2}$，
∵x²+$\frac{{y}^{2}}{2}$=1，
∴x•$\sqrt{1+{y}^{2}}$$≤\sqrt{2}×\frac{{x}^{2}+\frac{1}{2}+\frac{{y}^{2}}{2}}{2}$=$\sqrt{2}×\frac{3}{4}=\frac{3\sqrt{2}}{4}$
故x•$\sqrt{1+{y}^{2}}$的最大值為$\frac{3\sqrt{2}}{4}$．
故選D．

點評 本題考查了構造思想，湊出已知條件以及基本不等式的性質．屬于中檔題．