Question

11．如圖，在四棱錐P-ABCD中，△ABC為正三角形，AB⊥AD，AC⊥CD，PA=AC，PA⊥平面ABCD．
（Ⅰ）點E在棱PC上，試確定點E的位置，使得PD⊥平面ABE；
（Ⅱ）求二面角A-PD-C的余弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）以A為坐標原點，射線AB，AD，AP分別為x，y，z軸的正方向，建立空間直角坐標系，利用向地能求出當E為PC中點時，PD⊥平面ABE．
（Ⅱ）求出平面PCD的一個法向量和平面PAD的一個法向量，利用向量法能求出二面角A-PD-C的余弦值．

解答 解：（Ⅰ）∵PC=$\sqrt{2}$PA=$\sqrt{2}AC$，∴PA⊥AC，
又∵平面PAC⊥平面ABCD，平面PAC∩平面ABCD=AC，
∴PA⊥平面ABCD，∴PA⊥AB，PA⊥AD，
以A為坐標原點，射線AB，AD，AP分別為x，y，z軸的正方向，
建立空間直角坐標系，設PA=2，
則B（2，0，0），C（1，$\sqrt{3}$，0），D（0，$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，0），P（0，0，2）．（2分）
$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AD}=0$，故PD⊥AB，
設$\overrightarrow{AE}$=$\overrightarrow{AP}+λ\overrightarrow{PC}$，
∵AE⊥PD，∴$\overrightarrow{AE}•\overrightarrow{PD}=0$，即$\overrightarrow{AP}•\overrightarrow{PD}+λ\overrightarrow{PC}•\overrightarrow{PD}$=0，
即-4+λ•8=0，即$λ=\frac{1}{2}$，即當E為PC中點時，AE⊥PD，
則PD⊥平面ABE．所以當E為PC中點時，PD⊥平面ABE．…（6分）
（Ⅱ）設平面PCD的一個法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
$\overrightarrow{PC}=（1，\sqrt{3}，-2）$，$\overrightarrow{PD}=（0，\frac{4\sqrt{3}}{3}，-2）$，
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{PC}=x+\sqrt{3}y-2z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{PD}=\frac{4\sqrt{3}}{3}y-2z=0}\end{array}\right.$，
令x=1，則$\overrightarrow{n}$=（1，$\sqrt{3}，2$），
再取平面PAD的一個法向量$\overrightarrow{m}$=（1，0，0）．…（9分）
則cos＜$\overrightarrow{n}，\overrightarrow{m}$＞=$\frac{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{m}}{|\overrightarrow{n}|•|\overrightarrow{m}|}$=$\frac{\sqrt{2}}{4}$，
故二面角A-PD-C的余弦值為$\frac{\sqrt{2}}{4}$．…（12分）

點評 本題考查滿足條件的點的位置的確定與求法，考查二面角的余弦值的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意向量法的合理運用．