Question

17．已知在平面直角坐標系中，一次函數y=$\frac{3}{4}$x+3的圖象與y軸交于點A，點M在正比例函數y=$\frac{3}{2}$x的圖象x＞0的那部分上，且MO=MA（O為坐標原點）．
（1）求線段AM的長；
（2）若反比例函數y=$\frac{k}{x}$的圖象經過點M關于y軸的對稱點M′，求反比例函數解析式，并直接寫出當x＞0時，$\frac{3}{4}$x+3與$\frac{k}{x}$的大小關系．

Answer 1

分析 （1）求出點A為（0，3），設M的坐標為（m，$\frac{3}{2}$m），根據勾股定理求出MA²與MO²，列出方程求出m的值即可．
（2）求出M′的坐標，求出反比例函數的解析式，然后求出兩圖象的交點坐標后即可判斷$\frac{3}{4}$x+3與$\frac{k}{x}$的大小關系

解答 解：（1）令x=0代入y=$\frac{3}{4}$x+3中，
∴y=3，
∴A（0，3）
設M（m，$\frac{3}{2}$m），其中m＞0，
∴由勾股定理可知：MO²=m²+$\frac{9}{4}$m²=$\frac{13}{4}$m²，
MA²=m²+（$\frac{3}{2}$m-3）²，
∵MA=MO，
∴$\frac{13}{4}$m²=m²+（$\frac{3}{2}$m-3）²，
∴m=1，
∴M（1，$\frac{3}{2}$），
由勾股定理可知：AM=$\sqrt{{1}^{2}+（\frac{3}{2}-3）^{2}}$=$\frac{\sqrt{13}}{2}$
（2）由題意可知：M′（-1，$\frac{3}{2}$）
將M′（-1，$\frac{3}{2}$）代入y=$\frac{k}{x}$
∴k=-$\frac{3}{2}$
∴聯立$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{3}{2x}}\\{y=\frac{3}{4}x+3}\end{array}\right.$
解得：x=-2$±\sqrt{2}$
當x＞0時，$\frac{3}{4}$x+3＞-$\frac{3}{2x}$

點評 本題考查一次函數與反比例函數的綜合問題，解題的關鍵是根據勾股定理求出M的坐標，本題屬于中等題型．