Question

7．如圖1，在正方形ABCD中，點E，F(xiàn)分別是邊BC，AB上的點，且CE=BF，連接DE，過點E作EG⊥DE，使EG=DE，連接FG，F(xiàn)C．

（1）請判斷：FG與CE的數(shù)量關(guān)系是FG=CE，位置關(guān)系是FG∥CE；
（2）如圖2，若點E、F分別是CB、BA延長線上的點，其它條件不變，（1）中結(jié)論是否仍然成立？請出判斷判斷并給予證明．

Answer 1

分析 （1）結(jié)論：FG=CE，F(xiàn)G∥CE．如圖1中，設(shè)DE與CF交于點M，首先證明△CBF≌△DCE，推出DE⊥CF，再證明四邊形EGFC是平行四邊形即可．
（2）結(jié)論仍然成立．如圖2中，設(shè)DE與CF交于點M，首先證明△CBF≌△DCE，推出DE⊥CF，再證明四邊形EGFC是平行四邊形即可．

解答 解：（1）結(jié)論：FG=CE，F(xiàn)G∥CE．
理由：如圖1中，設(shè)DE與CF交于點M．
∵四邊形ABCD是正方形，
∴BC=CD，∠ABC=∠DCE=90°，
在△CBF和△DCE中，
$\left\{\begin{array}{l}{BF=CE}\\{∠CBF=∠ECD}\\{BC=CD}\end{array}\right.$，
∴△CBF≌△DCE，
∴∠BCF=∠CDE，CF=DE，
∵∠BCF+∠DCM=90°，
∴∠CDE+∠DCM=90°，
∴∠CMD=90°，
∴CF⊥DE，
∵GE⊥DE，
∴EG∥CF，
∵EG=DE，CF=DE，
∴EG=CF，
∴四邊形EGFC是平行四邊形．
∴GF=EC，
∴GF=EC，GF∥EC．
故答案為：FG=CE，F(xiàn)G∥CE；
（2）結(jié)論仍然成立．
理由：如圖2中，設(shè)DE與CF交于點M．
∵四邊形ABCD是正方形，
∴BC=CD，∠ABC=∠DCE=90°，
在△CBF和△DCE中，
$\left\{\begin{array}{l}{BF=CE}\\{∠CBF=∠ECD}\\{BC=CD}\end{array}\right.$，
∴△CBF≌△DCE，
∴∠BCF=∠CDE，CF=DE，
∵∠BCF+∠DCM=90°，
∴∠CDE+∠DCM=90°，
∴∠CMD=90°，
∴CF⊥DE，
∵GE⊥DE，
∴EG∥CF，
∵EG=DE，CF=DE，
∴EG=CF，
∴四邊形EGFC是平行四邊形．
∴GF=EC，
∴GF=EC，GF∥EC．

點評 本題三角形與四邊形綜合問題，涉及全等三角形的判定與性質(zhì)，平行四邊形的判定與性質(zhì)．解題的關(guān)鍵是利用全等三角形的對應(yīng)邊相等進行線段的等量代換，從而求證出平行四邊形．