Question

2．如圖1，直線l交x軸于點C，交y軸于點D，與反比例函數y=$\frac{k}{x}$（k＞0）的圖象交于兩點A、E，AG⊥x軸，垂足為點G，S_△AOG=3

（1）k=6；
（2）求證：AD=CE；
（3）如圖2，若點E為平行四邊形OABC的對角線AC的中點，求平行四邊形OABC的面積．

Answer 1

分析 （1）設A（m，n），由題意$\frac{1}{2}$•OG•AG=3，推出mn=6，由點A在y=$\frac{k}{x}$上，推出k=mn=6．
（2）如圖1中，作AN⊥OD于N，EM⊥OC于M．設直線CD的解析式為y=kx+b，A（x₁，y₁），E（x₂，y₂）．首先證明EM=-kAN，EM=-kMC，推出AN=CM，再證明△DAN≌△ECM，即可解決問題．
（3）如圖2中，連接GD，GE．由EA=EC，AD=EC，推出AD=AE=EC，推出S_△ADG=S_△AGE=S_△GEC=3，求出△AOC的面積即可解決問題．

解答 （1）解：設A（m，n），
∵$\frac{1}{2}$•OG•AG=3，
∴$\frac{1}{2}$•m•n=3，
∴mn=6，
∵點A在y=$\frac{k}{x}$上，
∴k=mn=6．
故答案為6．

（2）證明：如圖1中，作AN⊥OD于N，EM⊥OC于M．設直線CD的解析式為y=kx+b，A（x₁，y₁），E（x₂，y₂）．

則有y₁=kx₁+b，y₂=kx₂+b，
∴y₂-y₁=k（x₂-x₁），
∴$\frac{3}{{x}_{2}}$-$\frac{3}{{x}_{1}}$=k（x₂-x₁），
∴-kx₁x₂=3，
∴-kx₁=$\frac{3}{{x}_{2}}$，
∴y₂=-kx₁，
∴EM=-kAN，
∵D（0，b），C（-$\frac{b}{k}$，0），
∴tan∠DCO=$\frac{OD}{OC}$=-k=$\frac{EM}{MC}$，
∴EM=-kMC，
∴AN=CM，
∵AN∥CM，
∴∠DAN=∠ECM，
在△DAN和△ECM中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠DAN=∠ECM}\\{AN=CM}\\{∠DNA=∠EMC=90°}\end{array}\right.$，
∴△DAN≌△ECM，
∴AD=EC．

（3）解：如圖2中，連接GD，GE．

∵EA=EC，AD=EC，
∴AD=AE=EC，
∴S_△ADG=S_△AGE=S_△GEC=3，
∵S_△AOG=S_△ADG=3，
∴S_△AOC=3+3+3=9，
∴平行四邊形ABCD的面積=2•S_△AOC=18．

點評 本題考查反比例函數綜合題、一次函數的應用、全等三角形的判定和性質、三角形的面積、平行四邊形的性質等知識，解題的關鍵是學會利用參數，本題的突破點是證明AN=CM，題目比較難，屬于中考壓軸題．