Question

12．如圖，已知四邊形ABCD是矩形，對角線AC的垂直平分線交AD于點E，交BC于點F，連接AF，CE，解答下列問題：
（1）求證：四邊形AECF是菱形；
（2）記AB=a，BF=b，若a，b是方程x²-2（m+1）x+m²+1=0的兩根，問當m為何值時，菱形AECF的周長為8$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 （1）由ASA證明△AOE≌△COF，得出對應邊相等EO=FO，證出四邊形AFCE為平行四邊形，再由FE⊥AC，即可得出結論．
（2）由勾股定理和根與系數的關系得出方程，解方程求出m=1或m=-5，再由根的判別式即可得出m的值．

解答 （1）證明：∵四邊形ABCD是矩形，
∴AE∥FC，
∴∠EAO=∠FCO，
∵EF垂直平分AC，
∴AO=CO，FE⊥AC，
在△AOE和△COF中，$\left\{\begin{array}{l}{∠EAO=∠FCO}&{\;}\\{AO=CO}&{\;}\\{∠AOE=∠COF}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△AOE≌△COF（ASA），
∴EO=FO，
∴四邊形AFCE為平行四邊形，
又∵FE⊥AC，
∴平行四邊形AECF為菱形．
（2）解：在△ABF中，∵∠ABF=90°，
∴AB²+BF²=AF²，
∴AF²=a²+b²=（a+b）²-2ab，
由根與系數的關系得：a+b=2（m+1），ab=m²+1，
∴AF²=[2（m+1）]²-2（m²+1）=2m²+8m+2，
∵菱形AECF的周長為8$\sqrt{3}$，
∴AF=2$\sqrt{3}$，
∴2m²+8m+2=（2$\sqrt{3}$）²，
解得：m=1或m=-5，
∵原方程有實數根，則△≥0，
∴[-2（m+1）]²-4（m²+1）≥0，
∴m=-5不合題意，舍去，
∴m=1，
即當m=1時，菱形AECF的周長為8$\sqrt{3}$．

點評 本題考查了矩形的性質、菱形的判定方法、平行四邊形的判定方法、全等三角形的判定與性質、勾股定理、根與系數的關系以及根的判別式；熟練掌握矩形的性質，證明三角形全等是解決問題的關鍵．