Question

17．已知拋物線y=ax²+bx+c的頂點(diǎn)為A，經(jīng)過(guò)點(diǎn)B（0，3）和點(diǎn)（2，3），與x軸交于C，D兩點(diǎn)，（點(diǎn)C在點(diǎn)D的左側(cè)），且OD=OB．
（1）求這條拋物線的表達(dá)式；
（2）連接AB，BD，DA，試判斷△ABD的形狀；
（3）點(diǎn)P是BD上方拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)P運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，△BPD的面積最大？求出此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)及△BPD的面積．

Answer 1

分析 （1）由點(diǎn)B的坐標(biāo)可知OB=3，OD=3，故此可得到點(diǎn)D的坐標(biāo)，然后利用待定系數(shù)法求解即可；
（2）先由拋物線的解析式求得點(diǎn)A的坐標(biāo)，然后利用兩點(diǎn)間的距離公式可求得AB、AD、BD的長(zhǎng)，最后利用勾股定理的逆定理進(jìn)行判斷即可
（3）如圖所示：連結(jié)OP．設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，-x²+2x+3）．依據(jù)△DBP的面積=△OBP的面積+△ODP的面積-△BOD的面積，列出△DBP的面積與x的函數(shù)關(guān)系式，然后依據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可．

解答 解：（1）∵B（0，3）和點(diǎn)（2，3）的縱坐標(biāo)相同，
∴拋物線的對(duì)稱軸為x=1，OB=3．
∵OD=OB，
∴OD=3．
∵拋物線與x軸交于C，D兩點(diǎn)，（點(diǎn)C在點(diǎn)D的左側(cè)），
∴D（3，0）．
將點(diǎn)B（0，3）、（2，3）、（3，0）代入拋物線的解析式得：$\left\{\begin{array}{l}{c=0}\\{4a+2b+c=3}\\{9a+3b+c=3}\end{array}\right.$，
解得：a=-1，b=2，c=3．
∴拋物線的解析式為y=-x²+2x+3．
（2）∵y=-x²+2x+3=-（x-1）²+4，
∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1，4）．
依據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式可知：AB²=（1-0）²+（4-3）²=2，AD²=（3-1）²+（4-0）²=20，BD²=（3-0）²+（0-3）²=18，
∴AB²+BD²=AD²．
∴△ABD為直角三角形．
（3）如圖所示：連結(jié)OP．

設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，-x²+2x+3）．
△DBP的面積=△OBP的面積+△ODP的面積-△BOD的面積
=$\frac{1}{2}$×3×x+$\frac{1}{2}$×3×（-x²+2x+3）-$\frac{1}{2}$×3×3
=-$\frac{3}{2}$x²+$\frac{9}{2}$x
=-$\frac{3}{2}$（x-$\frac{3}{2}$）²+$\frac{27}{8}$．
∴當(dāng)x=$\frac{3}{2}$時(shí)，△DBP的面積最大，最大值為$\frac{27}{8}$．
將x=$\frac{3}{2}$代入拋物線的解析式得y=$\frac{15}{4}$，
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（$\frac{3}{2}$，$\frac{15}{4}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查的是二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，解答本題主要應(yīng)用了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式、二次函數(shù)的性質(zhì)，勾股定理的逆定理，列出△DBP的面積與x的函數(shù)關(guān)系式是解題的關(guān)鍵．