Question

7．如圖所示，四邊形ABCD是正方形，E是CD的中點，P是BC邊上的一點，下列條件：①∠APB=∠EPC；②∠APE=∠APB；③P是BC的中點；④BP：BC=2：3，其中能推出△ABP∽△ECP的有（　　）

• A． 1個
• B． 2個
• C． 3個
• D． 4個

Answer 1

分析 利用相似三角形的判定定理，以及正方形的性質逐項判斷即可．

解答 解：∵四邊形ABCD為正方形，
∴AB=BC=CD，∠B=∠C=90°，
∵E為CD中點，
∴CD=2CE，即AB=BC=2CE，
①當∠APB=∠EPC時，結合∠B=∠C，可推出△ABP∽△ECP；
②當∠APE=∠APB≠60°時，則有∠APB≠∠EPC，所以不能推出△ABP∽△ECP；
③當P是BC中點時，則有BC=2PC，可知PC=CE，則△PCE為等腰直角三角形，而BP≠AB，即△ABP不是等腰直角三角形，故不能推出△ABP∽△ECP；④當BP：BC=2：3時，則有BP：PC=2：1，且AB：CE=2：1，結合∠B=∠C，可推出△ABP∽△ECP相似；
故選B．

點評 本題考查了相似三角形的判定定理：（1）兩角對應相等的兩個三角形相似．（2）兩邊對應成比例且夾角相等的兩個三角形相似．（3）三邊對應成比例的兩個三角形相似．（4）如果一個直角三角形的斜邊和一條直角邊與另一個直角三角形的斜邊和一條直角邊對應成比例，那么這兩個直角三角形相似．也考查了正方形的性質．