Question

17．如圖，Rt△ABC的三個頂點(diǎn)均落在平面直角坐標(biāo)系的坐標(biāo)軸上，OA=1，OB=4OA，∠ACB=90°，拋物線y=ax²+bx+c（a≠0）過A，B，C三點(diǎn)．
（1）求拋物線的函數(shù)關(guān)系式；
（2）點(diǎn)D是線段BC上一動點(diǎn)（不與B、C兩點(diǎn)重合），過點(diǎn)D作DE⊥X軸，交拋物線于點(diǎn)E，在點(diǎn)D的運(yùn)動過程中，設(shè)線段DE的長度為m，求m的最大值；
（3）連接CE，在點(diǎn)D的運(yùn)動過程中，是否存在點(diǎn)D，使△CDE是等腰三角形？如果存在，求出所有滿足要求的點(diǎn)D的橫坐標(biāo)；如果不存在，說明理由．

Answer 1

分析 （1）由條件可先求得A、B的坐標(biāo)，由△AOC∽△COB，可求得OC的長，再利用待定系數(shù)法可求得拋物線的函數(shù)關(guān)系式；
（2）由B、C坐標(biāo)可求得直線BC的解析式，則可設(shè)出D點(diǎn)坐標(biāo)，從而可表示出DE的長，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)可求得其最大值；
（3）可用D點(diǎn)橫坐標(biāo)為t，則可用t分別表示出CE、CD和DE的長，分CE=CD、CE=DE和CD=DE三種情況，分別得到關(guān)于t的方程，可求得D點(diǎn)橫坐標(biāo)．

解答 解：
（1）∵OA=1，OB=4OA，
∴OB=4，
∵∠ACB=∠AOB=∠BOC=90°，
∴∠ACO+∠BCO=∠BCO+∠CBO=90°，
∴∠ACO=∠CBO，
∴△AOC∽△COB，
∴$\frac{AO}{OC}$=$\frac{OC}{OB}$，即$\frac{1}{OC}$=$\frac{OC}{4}$，解得OC=2，
∴A（-1，0），B（4，0），C（0，2），
∴可設(shè)拋物線解析式為y=ax²+bx+2，
把A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)代入可得$\left\{\begin{array}{l}{a-b+2=0}\\{16a+4b+2=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{1}{2}}\\{b=\frac{3}{2}}\end{array}\right.$，
∴拋物線解析式為y=-$\frac{1}{2}$x²+$\frac{3}{2}$x+2；

（2）∵B（4，0），C（0，2），
∴可設(shè)直線BC解析式為y=kx+2，
把B點(diǎn)坐標(biāo)代入可得4k+2=0，解得k=-$\frac{1}{2}$，
∴直線BC解析式為y=-$\frac{1}{2}$x+2，
∵點(diǎn)D是線段BC上一動點(diǎn)（不與B、C兩點(diǎn)重合），
∴可設(shè)D（x，-$\frac{1}{2}$x+2）（0＜x＜4），則E（x，-$\frac{1}{2}$x²+$\frac{3}{2}$x+2），
∵DE⊥x軸，
∴DE=-$\frac{1}{2}$x²+$\frac{3}{2}$x+2-（-$\frac{1}{2}$x+2）=-$\frac{1}{2}$x²+2x=-$\frac{1}{2}$（x-2）²+2，
即m=-$\frac{1}{2}$（x-2）²+2，
∵-$\frac{1}{2}$＜0，
∴當(dāng)x=2時，m有最大值2；

（3）設(shè)D（t，-$\frac{1}{2}$t+2）（0＜t＜4），則E（t，-$\frac{1}{2}$t²+$\frac{3}{2}$t+2），且C（0，2），
∴CE=$\sqrt{{t}^{2}+（-\frac{1}{2}{t}^{2}+\frac{3}{2}t）^{2}}$，CD=$\sqrt{{t}^{2}+（-\frac{1}{2}t）^{2}}$=$\frac{\sqrt{5}}{2}$t，DE=-$\frac{1}{2}$t²+2t，
∵△CDE為等腰三角形，
∴有CE=CD、CE=DE和CD=DE三種情況，
①當(dāng)CE=CD時，則有$\sqrt{{t}^{2}+（-\frac{1}{2}{t}^{2}+\frac{3}{2}t）^{2}}$=$\frac{\sqrt{5}}{2}$t，解得t=0（舍去）或t=2，
②當(dāng)CE=DE時，則有$\sqrt{{t}^{2}+（-\frac{1}{2}{t}^{2}+\frac{3}{2}t）^{2}}$=-$\frac{1}{2}$t²+2t，解得t=0（舍去）或t=$\frac{3}{2}$，
③當(dāng)CD=DE時，則有$\frac{\sqrt{5}}{2}$t=-$\frac{1}{2}$t²+2t，解得t=0（舍去）或t=4-$\sqrt{5}$，
綜上可知D點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2或$\frac{3}{2}$或4-$\sqrt{5}$．

點(diǎn)評 本題為二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，涉及待定系數(shù)法、相似三角形的判定和性質(zhì)、二次函數(shù)的性質(zhì)、勾股定理、等腰三角形的性質(zhì)、方程思想及分類討論思想等知識．在（1）中求得A、B、C的坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵，在（2）中用D點(diǎn)坐標(biāo)表示出m是解題的關(guān)鍵，在（3）中用D點(diǎn)坐標(biāo)分別表示出CD、CE和DE是解題的關(guān)鍵．本題考查知識點(diǎn)較多，綜合性較強(qiáng)，難度適中．