分析 (1)連接EF,DF交BC于K,先證明△EKF≌△EDA,再證明△AEF是等腰直角三角形,即可得到∠FAE的度數(shù);
(2)連接EF,延長FD交AC于K,先證明△EDF≌△ECA,再證明△AEF是等腰直角三角形,即可得到線段AF,AE的數(shù)量關(guān)系.
解答 解:(1)如圖1,連接EF,DF交BC于K.
∵DF∥AB,
∴∠DKE=∠ABC=45°,
∴∠EKF=180°-∠DKE=135°,EK=ED,
∵∠ADE=180°-∠EDC=180°-45°=135°,
∴∠EKF=∠ADE,
∵∠DKC=∠C,
∴DK=DC,
∵DF=AB=AC,
∴KF=AD,
在△EKF和△EDA中,
$\left\{\begin{array}{l}{EK=ED}\\{∠EKF=∠ADE}\\{KF=AD}\end{array}\right.$,
∴△EKF≌△EDA(SAS),
∴EF=EA,∠KEF=∠AED,
∴∠FEA=∠BED=90°,
∴△AEF是等腰直角三角形,
∴∠FAE的度數(shù)為45°;
(2)AF=$\sqrt{2}$AE.
證明:如圖2,連接EF,延長FD交AC于K.
∵∠EDF=180°-∠KDC-∠EDC=135°-∠KDC,
∠ACE=(90°-∠KDC)+∠DCE=135°-∠KDC,
∴∠EDF=∠ACE,
∵DF=AB,AB=AC,
∴DF=AC,
在△EDF和△ECA中,
$\left\{\begin{array}{l}{DF=AC}\\{∠EDF=∠ACE}\\{DE=CE}\end{array}\right.$,
∴△EDF≌△ECA(SAS),
∴EF=EA,∠FED=∠AEC,
∴∠FEA=∠DEC=90°,
∴△AEF是等腰直角三角形,
∴AF=$\sqrt{2}$AE.
點評 本題屬于四邊形綜合題,主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì)、等腰直角三角形的判定和性質(zhì)、平行線的性質(zhì)等知識,解題的關(guān)鍵是熟練掌握全等三角形的判定和性質(zhì),尋找全等的條件是解題的難點.
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
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