Question

15．如圖（1），已知拋物線y=ax²+bx+5中與x軸交于A、B（點A在點B的左側）兩點．與y軸交于點C，已知點A的橫坐標為-5，且點D（-2，3）在此拋物線的對稱軸上．
（1）求a、b的值；
（2）若在直線AC上方的拋物線上有一點M，當點M到x軸的距離與M到直線AC的距離之比為$\frac{4\sqrt{2}}{3}$時，求點M的坐標；
（3）在（2）的條件下，y軸上是否存在一點P，使得|PD-PM|值最大，如果存在，求此時點P的坐標及|PD-PM|的最大值；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）首先依據題意求得點A和點C的坐標，然后設拋物線的解析式為設拋物線的解析式為y=a（x+2）²+k，將點A和點C的坐標代入可求得a，k的值，然后代入拋物線的解析式，經過整理可得到b，c的值；
（2）如圖1所示：過點M作ME⊥AC，垂足為E，作MF⊥AO，垂足為D，MD交AC與點F．先證明△ADF和△EMF為等腰直角三角形，設ME=3K，MD=4$\sqrt{2}$K，可得到點M的坐標為（-5+$\sqrt{2}$k，4$\sqrt{2}$k），將點M的坐標代入拋物線的解析式可求得k的值，從而可得到M的坐標；
（3）當點P、D、M在一條直線上時，|DP-MP|有最大值，最大值=MD，最后依據兩點間的距離公式求解即可，設MD的解析式為y=kx+b，將點M和點D的坐標代入可求得直線MD的解析式，然后將x=0代入可求得點P的縱坐標．

解答 解：（1）將x=0代入拋物線的解析式得：y=3，
∴點C的坐標為（0，5）．
設拋物線的解析式為y=a（x+2）²+k．
將點A和點C的坐標代入得：$\left\{\begin{array}{l}{4a+k=5}\\{9a+k=0}\end{array}\right.$，解得：a=-1，k=9．
∴拋物線的解析式為y=-（x+2）²+9，即y=-x²-4x+5．
∴a=-1，b=-4．

（2）如圖1所示：過點M作ME⊥AC，垂足為E，作MF⊥AO，垂足為D，MD交AC與點F．

∵A（-5，0），C（0，5），
∴OA=CO．
∴∠CAO=45°．
設ME=3K，MD=4$\sqrt{2}$K．
∵∠FAD=45°，∠MDA=90°，
∴∠MFE=45°．
又∵∠MEF=90°，
∴ME=FE=3K．
∴MF=3$\sqrt{2}$K．
∴AD=DF=$\sqrt{2}$K．
∴M（-5+$\sqrt{2}$k，4$\sqrt{2}$k）．
將點M的坐標代入拋物線的解析式得：-（-5+$\sqrt{2}$k）²-4（-5+$\sqrt{2}$k）+5=4$\sqrt{2}$k，解得：k=$\sqrt{2}$．
∴M（-3，8）．

（3）如圖2所示：

當點P、D、M不在同一條直線上時，由三角形的兩邊之差小于第三邊可知：|DP-MP|＜MD．
當點P、D、M在一條直線上時，|DP-MP|=MD，
∴|DP-MP|的最大值等于MD的長．
依據兩點間的距離公式可知：MD=$\sqrt{（-3+2）^{2}+（8-3）^{2}}$=$\sqrt{26}$．
∴|DP-MP|的最大值等于$\sqrt{26}$．
設MD的解析式為y=kx+b，將點M和點D的坐標代入得：$\left\{\begin{array}{l}{-3k+b=8}\\{-2k+b=3}\end{array}\right.$，解得k=-5，b=7．
∴直線MD的解析式為y=-5x+7．
當x=0時，y=7．
∴點P的坐標為（0，7）．

點評 本題主要考查的是二次函數的綜合應用，解答本題主要應用了待定系數法求二次函數的解析式，等腰直角三角形的性質和判定，三角形的三邊關系，用含k的式子表示出點M的坐標是解答問題（2）的關鍵，依據三角形的三邊關系得到當點P、D、M不在同一條直線上時|DP-MP|有最大值是解題的關鍵．