Question

10．如圖，在平面直角坐標系中，直線y=$\frac{1}{2}$x-1與拋物線y=-$\frac{1}{4}$x²+bx+c交于A，B兩點，點A在x軸上，點B的橫坐標為-8，點P是直線AB上方的拋物線上的一動點（不與點A，B重合）．
（1）求該拋物線的函數關系式；
（2）連接PA、PB，在點P運動過程中，是否存在某一位置，使△PAB恰好是一個以點P為直角頂點的等腰直角三角形，若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由；
（3）過P作PD∥y軸交直線AB于點D，以PD為直徑作⊙E，求⊙E在直線AB上截得的線段的最大長度．

Answer 1

分析 （1）根據直線y=$\frac{1}{2}$x-1與拋物線y=-$\frac{1}{4}$x²+bx+c交于A、B兩點，點A在x軸上，點B的橫坐標為-8，求出點A（2，0），B（-8，-5）利用待定系數法求出拋物線解析式；
（2）假設存在這樣點P，使△PAB恰好是一個直角三角形，只有∠APB=90°，即AP⊥PB，設出點P的坐標，表示出直線PA，PB的解析式，由直線AP和直線PB的斜率乘積等于-1建立方程，則可求得點P的坐標，再利用勾股定理求得PA和PB，進行判斷即可；
（3）先判斷出∠OCA=∠QDF進而得出△AOC∽△PFD，得出DF=$\frac{1}{\sqrt{5}}$PD，最后建立DF=PD=$\frac{1}{\sqrt{5}}$×（-$\frac{1}{4}$x²-$\frac{3}{2}$x+4），即可得出結論．

解答 解：
（1）∵點A在x軸上，點B的橫坐標為-8，且在直線y=$\frac{1}{2}$x-1，
∴A（2，0），B（-8，-5），
∵點A，B在拋物線y=-$\frac{1}{4}$x²+bx+c上，
∴0=-1+2b+c，-16-8b+c=-5，
∴b=-1，c=3，
∴拋物線的解析式為y=-$\frac{1}{4}$x²-x+3；

（2）解：假設存在這樣點P，使△PAB恰好是一個等腰直角三角形，
∵△PAB是以P為頂點的等腰直角三角形，
∴∠APB=90°，PA=PB，
設P（x，-$\frac{1}{4}$x ²-x+3），而A坐標為（2，0），B坐標為（-8，-5），
則PA²=（x-2）²+（-$\frac{1}{4}$x ²-x+3）²，PB²=（x+8）²+（-$\frac{1}{4}$x ²-x+3+5）²，
∴（x-2）²+（-$\frac{1}{4}$x ²-x+3）²=（x+8）²+（-$\frac{1}{4}$x ²-x+3+5）²，解得x=2+5$\sqrt{2}$或x=2-5$\sqrt{2}$，
此時PA²=PB²=$\frac{1625}{4}$+250$\sqrt{2}$，
∵A（2，0），B（-8，-5），
∴AB²=（2+8）²+5²=125，
∴PA²+PB²≠AB²，
∴不存在使△PAB恰好是一個以點P為直角頂點的等腰直角三角形；
（3）如圖，

∵OA=2，OC=1，
∴AC=$\sqrt{5}$，
∵PD∥OC，
∴∠OCA=∠QDF，
∵∠PFD=∠AOC=90°，
∴△AOC∽△PFD，
∴$\frac{DF}{PD}$=$\frac{OC}{AC}$=$\frac{1}{\sqrt{5}}$，
∴DF=$\frac{1}{\sqrt{5}}$PD，
設D（x，$\frac{1}{2}$x-1），P（x，-$\frac{1}{4}$x²-x+3），
∴PD=-$\frac{1}{4}$x²-x+3-$\frac{1}{2}$x+1=-$\frac{1}{4}$x²-$\frac{3}{2}$x+4，
∴DF=PD=$\frac{1}{\sqrt{5}}$×（-$\frac{1}{4}$x²-$\frac{3}{2}$x+4），
∴當x=-3時，DF_最大=$\frac{1}{\sqrt{5}}$×（-$\frac{1}{4}$×3²+$\frac{3}{2}$×3+4）=$\frac{5\sqrt{5}}{4}$．

點評 本題是二次函數的綜合題，主要考查了待定系數法求拋物線的解析式，涉及到的知識點主要有，相似三角形的判定和性質，平面坐標系中互相垂直的直線，比例系數的乘積是-1，判斷出△AOC∽△PFD是解本題的關鍵．