Question

1．如圖，沿△ABC的各邊想同側作正三角形ABD、BCF、ACE．
（1）求證：四邊形AEFD是平行四邊形．
（2）當∠BAC為多少度時，四邊形AEFD是矩形？
（3）當△ABC的邊滿足什么條件時，四邊形AEFD是菱形？

Answer 1

分析 （1）由等邊三角形的性質得出AC=CE=AE，AB=AD=BD，BC=CF=BF，∠BCF=∠ACE=60°，求出∠BCA=∠FCE，證△BCA≌△FCE，得出EF=BA=AD，同理DF=AC=AE，即可得出結論；
（2）求出∠DAE的度數，根據矩形的判定得出即可；
（3）再由AB=AC得出四邊形AEFD是菱形．

解答 （1）證明：∵△ABD、△BCE、△ACE是等邊三角形，
∴AC=CE=AE，AB=AD=BD，BC=CF=BF，∠BCF=∠ACE=60°，
∴∠BCA=∠FCE=60°-∠ACF，
在△BCA和△FCE中，$\left\{\begin{array}{l}{BC=CF}\\{∠BCA=∠FCE}\\{AC=CE}\end{array}\right.$，
∴△BCA≌△FCE（SAS），
∴EF=BA=AD，
同理：DF=AC=AE，
∴四邊形DAEF是平行四邊形；
（2）當∠A=150°時，四邊形DAEF是矩形，理由如下：
∵△ABD、△ACE是等邊三角形，
∴∠DAB=∠EAC=60°，
∴∠DAE=360°-60°-60°-150°=90°，
∵四邊形DAEF是平行四邊形，
∴四邊形DAEF是矩形，
（3）當AB=AC時四邊形AEFD是菱形．
理由是：由（1）得：EF=AB=AD，DF=AC=AE，
∵AB=AC，
∴AD=AE，
∵四邊形DAEF是平行四邊形，
∴四邊形DAEF是菱形．

點評 本題考查了等邊三角形的性質、全等三角形的性質和判定、平行四邊形的判定、菱形的判定、矩形的判定以及正方形的判定；解此題的關鍵是求出EF=BA=AD，DF=AC=AE，主要考查了學生的推理能力．