Question

9．如圖，連結(jié)正五邊形的各條對(duì)角線AD，AC，BE，BD，CE，給出下列結(jié)論：①∠AME=108°；②五邊形PFQNM∽五邊形ABCDE；③AN²=AM•AD，其中正確的是（　　）

• A． ①②
• B． ①③
• C． ②③
• D． ①②③

Answer 1

分析 根據(jù)正五邊形的性質(zhì)得到∠ABE=∠AEB=∠EAD=36°，根據(jù)三角形的內(nèi)角和即可得到結(jié)論；
求證各個(gè)角的度數(shù)，再求得各邊的長度，即可得出結(jié)論．
由于∠AEN=108°-36°=72°，∠ANE=36°+36°=72°，得到∠AEN=∠ANE，根據(jù)等腰三角形的判定定理得到AE=AN，同理DE=DM，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到$\frac{AE}{AD}=\frac{AM}{AE}$，等量代換得到AN²=AM•AD；

解答 解：∵∠BAE=∠AED=108°，
∵AB=AE=DE，
∴∠ABE=∠AEB=∠EAD=36°，
∴∠AME=180°-∠EAM-∠AEM=108°，故①正確；
∵∠ABE=∠CBD=36°，
∴∠DBE=36°，
同理∠KMN=∠MNL=∠NLH=∠LHK=∠HKM，
△AMK≌△BMN≌△CNL≌△DHL≌△EHK，
∴MN=NL=LH=HK=MK，
∴五邊形MNLHK是正五邊形，
∴五邊形PFQNM∽五邊形ABCDE，②正確．
∵∠AEN=108°-36°=72°，∠ANE=36°+36°=72°，
∴∠AEN=∠ANE，
∴AE=AN，
同理DE=DM，
∴AE=DM，
∵∠EAD=∠AEM=∠ADE=36°，
∴△AEM∽△ADE，
∴$\frac{AE}{AD}=\frac{AM}{AE}$，
∴AE²=AM•AD；
∴AN²=AM•AD；故③正確；
故選D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，正五邊形的性質(zhì)，熟練掌握正五邊形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．