Question

13．先化簡，再求值
（a-$\frac{{a}^{2}}{a+b}$）（$\frac{a}{a+b}$-1）÷$\frac{a+b}$，其中a，b分別為關于x的一元二次方程x²-$\sqrt{3}x$+1=0的兩個根．

Answer 1

分析 將原式通分、消元后化簡成-$\frac{ab}{a+b}$，再根據根與系數的關系即可得出a+b=$\sqrt{3}$、ab=1，將其代入-$\frac{ab}{a+b}$即可得出結論．

解答 解：（a-$\frac{{a}^{2}}{a+b}$）（$\frac{a}{a+b}$-1）÷$\frac{a+b}$，
=$\frac{{a}^{2}+ab-{a}^{2}}{a+b}$×$\frac{a-（a+b）}{a+b}$×$\frac{a+b}$，
=$\frac{ab}{a+b}$×$\frac{-b}{a+b}$×$\frac{a+b}$，
=-$\frac{ab}{a+b}$．
∵a，b分別為關于x的一元二次方程x²-$\sqrt{3}x$+1=0的兩個根，
∴a+b=$\sqrt{3}$，ab=1，
∴原式=-$\frac{ab}{a+b}$=-$\frac{1}{\sqrt{3}}$=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

點評 本題考查了分式的化簡求值以及根與系數的關系，利用通分、消元將原式轉出為-$\frac{ab}{a+b}$是解題的關鍵．