Question

2．如圖，△ABC中，BC=5，sinA=$\frac{3}{5}$
（1）求△ABC的外接圓的直徑；
（2）如果AB=BC，求△ABC內切圓的半徑．

Answer 1

分析 （1）作直徑BD，連接CD，根據圓周角定理和正弦的概念計算即可；
（2）根據垂徑定理、正弦的概念求出BE、AE、AC，根據三角形的面積公式計算即可．

解答 解：（1）作直徑BD，連接CD，
由圓周角定理得，∠D=∠A，∠BCD=90°，
∴BD=$\frac{BC}{sinD}$=$\frac{25}{3}$，即△ABC的外接圓的直徑為$\frac{25}{3}$；
（2）∵AB=BC，
∴BE⊥AC，
∴BE=AB×sinA=3，
∴AE=$\sqrt{A{B}^{2}-B{E}^{2}}$=4，
∴AC=8，
設△ABC內切圓的半徑為r，
則$\frac{1}{2}$×5×r+$\frac{1}{2}$×5×r+$\frac{1}{2}$×8×r=$\frac{1}{2}$×8×3，
解得，r=$\frac{4}{3}$，
則△ABC內切圓的半徑為$\frac{4}{3}$．

點評 本題考查的是三角形的外接圓和外心、內切圓和內心以及解直角三角形的知識，掌握圓周角定理、勾股定理、正弦的概念是解題的關鍵．