Question

20．在平面直角坐標系xOy中，四邊形OACB是正方形，A點的坐標為（-3，0），點P是射線AO上（異于點A、O）一動點，直線CP與對角線AB及y軸分別交于點E，D．
（1）若AP：PO=2：1，求直線CP函數關系式；
（2）若點P在線段AO上，過點E作EF⊥y軸，垂足為F，當△OFE≌△POD時，求點P的坐標；
（3）在（2）的條件下，以PD為直徑作⊙M．
①判斷OE和⊙M的位置關系，并說明理由；
②當直線AB與⊙M相切時，直接寫出BE的長．

Answer 1

分析 （1）先求出點P、C兩點坐標，利用待定系數法即可解決問題．
（2）由題意可知OF=OP時，△OEF≌△PDO，設OP=OF=x，則EF=BF=OD=AP=3-x，由OD∥AC，推出$\frac{OD}{AC}$=$\frac{OP}{AP}$，列出方程即可解決問題．
（3）①OE是⊙M的切線．只要證明OM⊥OE即可．
②首先證明∠BEO=∠MEO=∠MEK=60°，作OH⊥AB于H，在Rt△OBH中，由∠OBH=45°，BC=3，推出BH=OH=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，在Rt△OHE中，由∠EOH=30°，推出EH=OH•tan30°=$\frac{\sqrt{6}}{2}$，由此即可解決問題．

解答 解：（1）①當P在O左側時，∵四邊形ABCD是正方形，OA=3，
∴C（-3，3），
∵AP：OP=2：1，
∴AP=2，OP=1，
∴P（-1，0），
設直線PC的解析式為y=kx+b，則有$\left\{\begin{array}{l}{-3k+b=3}\\{-k+b=0}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{3}{2}}\\{b=-\frac{3}{2}}\end{array}\right.$，
∴直線PC的解析式為y=-$\frac{3}{2}$x-$\frac{3}{2}$．
②當P在O右側時，同法可得直線PC的解析式為y=-$\frac{1}{2}$x+$\frac{3}{2}$．

（2）如圖1中，

∵四邊形ABCD是正方形，
∴O、C關于AB對稱，
∴∠BCP=∠BOE，
∵BC∥OA，
∴∠BCP=∠APC，
∵∠APC=∠DPO，
∴∠DPO=∠EOF，
∴OF=OP時，△OEF≌△PDO，設OP=OF=x，則EF=BF=OD=AP=3-x，
∵OD∥AC，
∴$\frac{OD}{AC}$=$\frac{OP}{AP}$，
∴$\frac{3-x}{3}$=$\frac{x}{3-x}$，
解得x=$\frac{9-3\sqrt{5}}{2}$或$\frac{9+3\sqrt{5}}{2}$（舍棄），
∴P（$\frac{3\sqrt{5}-9}{2}$，0）．

（3）①結論：OE是⊙M的切線．
理由：如圖2中，

由（2）可知，∠EOF=∠DPO，
∵MP=MO=MD，
∴∠MDO=∠MOP，
∵∠MDO+∠DPO=90°，
∴∠MOP+∠EOF=90°，
∴∠EOM=90°，
∴MO⊥OE，
∴OE是⊙M的切線．

②如圖3中，

∵直線AB與⊙M相切于K，OE與⊙M相切，
∴∠MEK=∠MEO，
∵∠MEK=∠CEB=∠BEO，
∴∠BEO=∠MEO=∠MEK=60°，作OH⊥AB于H，
在Rt△OBH中，∵∠OBH=45°，BC=3，
∴BH=OH=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，
在Rt△OHE中，∵∠EOH=30°，
∴EH=OH•tan30°=$\frac{\sqrt{6}}{2}$，
∴EB=BH+EH=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$+$\frac{\sqrt{6}}{2}$．

點評 本題考查圓綜合題、一次函數的應用、全等三角形的判定和性質、切線的判定和性質、銳角三角函數、平行線分線段成比例定理等知識，解題的關鍵是靈活運用所學知識解決問題，學會用方程的思想思考問題，學會添加常用輔助線，構造直角三角形解決問題，屬于中考壓軸題．