Question

9．如圖①，等腰直角三角形ABC的頂點A的坐標為（0，-1），C的坐標為（4，3），直角頂點B在第四象限，線段AC與x軸交于點D．將線段DC繞點D逆時針旋轉90°至DE．

（1）直接寫出點B、D、E的坐標并求出直線DE的解析式．
（2）如圖②，點P以每秒1個單位的速度沿線段AC從點A運動到點C的過程中，過點P作與x軸平行的直線PG，交直線DE于點G，求與△DPG的面積S與運動時間t的函數關系式，并求出自變量t的取值范圍．
（3）如圖③，設點F為直線DE上的點，連接AF，一動點M從點A出發，沿線段AF以每秒1個單位的速度運動到F，再沿線段FE以每秒$\sqrt{2}$個單位的速度運動到E后停止．當點F的坐標是多少時，是否存在點M在整個運動過程中用時最少？若存在，請求出點F的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據坐標的定義結合題意可得B、D、E的坐標，利用待定系數法即可求出直線DE的解析式．
（2）分兩種情形①當$0≤t≤\sqrt{2}$時，PD=$\sqrt{2}$-t，可得S=$\frac{1}{2}$PD²=$\frac{1}{2}$（$\sqrt{2}$-t）²=$\frac{1}{2}$t²-$\sqrt{2}$t+1．②當$\sqrt{2}＜t≤4\sqrt{2}$時，同法可求．
（3）過點E作EK∥x軸交y軸于H，則∠KEF=∠EDO=45°．過點F作FG⊥EK于點G，則FG=EG=$\frac{\sqrt{2}}{2}$EF，由題意，動點M運動的路徑為折線AF+EF，運動時間：t=AF+$\frac{\sqrt{2}}{2}$EF，推出t=AF+FG，即運動時間等于折線AF+FG的長度，由垂線段最短可知，折線AF+FG的長度的最小值為EK與線段AB之間的垂線段．則t_最小=AH，直線DE與y軸的交點即為所求之F點．

解答 解：（1）如圖①中，由題意得：B（4，-1），D（1，0）．E（-2，3）．

設直線DE為y=kx+b（k≠0）
把D（1，0）．E（-2，3）代入得$\left\{{\begin{array}{l}{0=k+b}\\{3=-2k+b}\end{array}}\right.$
解之得：$\left\{{\begin{array}{l}{k=-1}\\{b=1}\end{array}}\right.$
∴直線DE為：y=-x+1．

（2）在Rt△ABC中，由BA=BC=4，
∴AC=$\sqrt{A{B}^{2}+B{C}^{2}}$=4$\sqrt{2}$，
由AP=t  （0≤t≤4$\sqrt{2}$），
同理可得：AD=$\sqrt{A{O}^{2}+O{D}^{2}}$=$\sqrt{2}$，
由題意可知：ED⊥AC，∠DPG=∠DAB=45°
∴△DPG為等腰直角三角形
S=$\frac{1}{2}$DP²，
如圖②中，

①當$0≤t≤\sqrt{2}$時，PD=$\sqrt{2}$-t，
∴S=$\frac{1}{2}$PD²=$\frac{1}{2}$（$\sqrt{2}$-t）²=$\frac{1}{2}$t²-$\sqrt{2}$t+1．

②當$\sqrt{2}＜t≤4\sqrt{2}$時，易得DP=t-$\sqrt{2}$，
∴S=$\frac{1}{2}$PD²=$\frac{1}{2}$（t-$\sqrt{2}$）²=$\frac{1}{2}$t²-$\sqrt{2}$t+1．
綜上：S=$\frac{1}{2}$t²-$\sqrt{2}$t+1．（0≤t$≤4\sqrt{2}$）

（3）如圖③，易得∠EDO=45°．

過點E作EK∥x軸交y軸于H，則∠KEF=∠EDO=45°．
過點F作FG⊥EK于點G，則FG=EG=$\frac{\sqrt{2}}{2}$EF，
由題意，動點M運動的路徑為折線AF+EF，運動時間：t=AF+$\frac{\sqrt{2}}{2}$EF，
∴t=AF+FG，即運動時間等于折線AF+FG的長度，
由垂線段最短可知，折線AF+FG的長度的最小值為EK與線段AB之間的垂線段．
則t_最小=AH，直線DE與y軸的交點即為所求之F點，
∵直線DE解析式為：y=-x+1
∴F（0，1），
綜上所述，當點F（0，1）坐標為時，點M在整個運動過程中用時最少．

點評 本題考查一次函數綜合題、等腰直角三角形的性質、待定系數法、三角形的面積、垂線段最短等知識，解題的關鍵是靈活運用所學知識解決問題，學會用轉化的思想思考問題，屬于中考壓軸題．