Question

8．已知點C在以AB為直徑的⊙O上，AD與過點C的切線垂直，垂足為點D，AD交⊙O于點E．
（1）如圖1，連接OD交AC于點F，cos∠DAB=$\frac{3}{5}$，求$\frac{AF}{FC}$的值．
（2）如圖2，連接OD，$\frac{CD}{AD}=\frac{3}{4}$，求tan∠ADO的值．
（3）如圖3，連接BD，若cos∠CAD=$\frac{4}{5}$，求tan∠BDC的值．
（4）如圖4，連接OD交AC于F，DC、AB的延長線交于點G．若$\frac{OF}{DF}=\frac{2}{3}$，求tan∠G的值．

Answer 1

分析 （1）作輔助線，如圖1，根據同角的三角函數：cos∠DAB=cos∠COB=$\frac{3}{5}$，設CG=3x，OC=5x，表示AD=AG=9x，根據角平分線的性質得：$\frac{AF}{OF}=\frac{DF}{OF}$=$\frac{9}{5}$，再證明△ADF∽△COF，列比例式可得結論；
（2）如圖2，作輔助線，同理根據$\frac{CD}{AD}=\frac{3}{4}$，設CD=3x，AD=4x，則AC=5x，在直角△OCG中根據勾股定理列方程求出半徑OC的長，即可表示出tan∠ADO=tan∠DOC的值；
（3）同理設AD=4x，AC=5x，則DC=3x，在Rt△CDP中，求出tan∠BDC的值；
（4）如圖4，同理作輔助線，根據角平分線性質設AO=2x，AD=3x，則AP=AD=3x，或利用相似設未知數，由勾股定理和相似表示OC和CG的長，代入三角函數式即可．

解答 解：（1）如圖1，過C作CG⊥AB于G，連接OC，
∵DC為⊙O的切線，
∴OC⊥CD，
∵AD⊥CD，
∴AD∥OC，
∴∠COB=∠DAB，
∴cos∠DAB=cos∠COB=$\frac{3}{5}$，
設CG=3x，OC=5x，
由勾股定理得：OG=4x，
∵OA=OC，
∴OA=5x，∠OAC=∠ACO，
∵AD∥OC，
∴∠DAC=∠ACO，
∴∠DAC=∠OAC，
∵∠ADC=∠AGC=90°，AC=AC，
∴△ADC≌△AGC，
∴AD=AG=AO+OG=5x+4x=9x，
∵OF平分∠DAB，
∴$\frac{AD}{AO}=\frac{DF}{OF}=\frac{9x}{5x}=\frac{9}{5}$，
∵∠AFD=∠OFC，
∠DAC=∠ACO，
∴△ADF∽△COF，
∴$\frac{AF}{CF}=\frac{DF}{OF}$=$\frac{9}{5}$；
（2）如圖2，過C作CG⊥AB于G，連接AC、OC，
∵$\frac{CD}{AD}=\frac{3}{4}$，
設CD=3x，AD=4x，則AC=5x，
∵∠DAC=∠CAB，
∴CD=CG=3x，
則AG=4x，
設OC=a，OA=a，則OG=4x-a，
由勾股定理得：a²=（3x）²+（4x-a）²，
a=$\frac{25}{8}$x，
在Rt△OCG中，∴tan∠ADO=tan∠DOC=$\frac{DC}{CO}$=$\frac{3x}{\frac{25}{8}x}$=$\frac{24}{25}$；
（3）∵cos∠CAD=$\frac{4}{5}$=$\frac{AD}{AC}$，
設AD=4x，AC=5x，則DC=3x，
過C作CG⊥AB于G，連接OC，
則CG=DC=3x，AG=4x，
同理得：AO=OC=$\frac{25}{8}$x，
由（1）得：OC∥AD，OA=OC，
∴DP=BP，
∴OP是△ADB的中位線，
∴OP=$\frac{1}{2}$AD=2x，
∴PC=$\frac{25}{8}$x-2x=$\frac{9}{8}$x，
在Rt△CDP中，tan∠BDC=$\frac{PC}{DC}$=$\frac{\frac{9}{8}x}{3x}$=$\frac{3}{8}$；
（4）如圖4，過C作CP⊥AB于P，連接OC，
由（1）得：AC平分∠DAO，
∴$\frac{AO}{AD}=\frac{OF}{DF}$，
∵$\frac{OF}{DF}=\frac{2}{3}$，
∴$\frac{AO}{AD}=\frac{2}{3}$，
設AO=2x，AD=3x，則AP=AD=3x，
∴OC=2x，OP=x，
由勾股定理得：CP=$\sqrt{3}$x，
∴CD=CP=$\sqrt{3}$x，
∴OC∥AD，
∴△OCG∽△ADG，
∴$\frac{CO}{AD}=\frac{CG}{DG}$，
∴$\frac{2x}{3x}=\frac{CG}{CG+\sqrt{3}x}$，
∴CG=2$\sqrt{3}$x，
在Rt△OCG中，tan∠G=$\frac{OC}{CG}$=$\frac{2x}{2\sqrt{3}x}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

點評 本題是圓的綜合題，考查了圓周角定理、三角函數、勾股定理、相似三角形的性質和判定、切線的性質等知識，運用了類比的方法，四個問題中，條件和結論交換，利用三角函數的比例式設未知數，找等量關系式求出未知數，使問題得以解決．