Question

16．如圖，已知在平面直角坐標系xOy中，O是坐標原點，點A是函數y₁=$\frac{4}{x}$（x＜0）圖象上一點，AO的延長線交函數y₂=$\frac{{k}^{2}}{x}$ （x＞0，k＜0）的y₂圖象于點B，BC⊥x軸，若S_△ABC=$\frac{15}{2}$，求函數y₂．

Answer 1

分析 設A（m，$\frac{4}{m}$）（m＜0），則可得到直線AB的解析式為y=$\frac{4}{{m}^{2}}$x．再利用反比例函數與一次函數的交點問題可表示出B（-$\frac{1}{2}$mk，-$\frac{2k}{m}$），則利用三角形面積公式得到$\frac{1}{2}$×（-$\frac{2k}{m}$）×（-$\frac{1}{2}$mk+|m|）=$\frac{15}{2}$，解得k₁=-5（舍去），k₂=3，于是得到y₂=$\frac{9}{x}$．

解答 解：設A（m，$\frac{4}{m}$）（m＜0），
直線AB的解析式為y=ax（k≠0），
∵A（m，$\frac{4}{m}$），
∴ma=$\frac{4}{m}$，解得a=$\frac{4}{{m}^{2}}$，
∴直線AB的解析式為y=$\frac{4}{{m}^{2}}$x．
∵AO的延長線交函數y=$\frac{{k}^{2}}{x}$的圖象于點B，
∴B（-$\frac{1}{2}$mk，-$\frac{2k}{m}$），
∵△ABC的面積等于$\frac{15}{2}$，CB⊥x軸，
∴$\frac{1}{2}$×（-$\frac{2k}{m}$）×（-$\frac{1}{2}$mk+|m|）=$\frac{15}{2}$，解得k₁=-5（舍去），k₂=3，
∴y₂=$\frac{9}{x}$．

點評 本題考查了比例函數與一次函數的交點問題：求反比例函數與一次函數的交點坐標，把兩個函數關系式聯立成方程組求解，若方程組有解則兩者有交點，方程組無解，則兩者無交點．