Question

4．如圖，Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，點D在BC上，BD=2CD，過D點作BC的垂線交AB于點E，BE=6cm，F為線段AC上一動點，則△DEF的周長最小值為9cm．

Answer 1

分析 如圖，作點D關于直線AC的對稱點H，連接EH交AC于F，此時FE+FD的值最小，即△DEF的周長最小．求出DE、EH的長即可解決問題．

解答 解：如圖，作點D關于直線AC的對稱點H，連接EH交AC于F，此時FE+FD的值最小，即△DEF的周長最小．

在Rt△BED中，∵∠EDB=90°，∠B=30°，BE=6cm，
∴DE=3cm＜BD=3$\sqrt{3}$cm，
∵BD=2CD，
∴CD=CH=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，
在Rt△EDH中，EH=$\sqrt{D{E}^{2}+D{H}^{2}}$=6cm，
∵FD=FH，
∴△DEF的周長的最小值=DE+EF+DF=DE+EF+FH=EH+DE=6+3=9cm，
故答案為9．

點評 本題考查軸對稱-最短問題、勾股定理等知識，解題的關鍵是學會利用對稱解決最短問題，屬于中考常考題型．