Question

12．如圖，一根長為a的竹竿AB斜靠在墻上，竹竿AB的傾斜角為α，當竹竿的頂端A下滑到點A'時，竹竿的另一端B向右滑到了點B'，此時傾斜角為β．
（1）線段AA'的長為a（sinα-sinβ）．
（2）當竹竿AB滑到A'B'位置時，AB的中點P滑到了P'，位置，則點P所經過的路線長為$\frac{（α-β）πa}{360}$（兩小題均用含a，α，β的代數式表示）

Answer 1

分析 （1）分別在在Rt△ABO中和在Rt△A′OB′中，求出OA、OA′即可解決問題．
（2）點P運動軌跡是弧，求出圓心角、半徑利用弧長公式計算即可．

解答 解：（1）在Rt△ABO中，∵AB=a，∠ABO=α，
∴OA=AB•sinα=a•sinα，
在Rt△A′OB′中，同理可得OA′=a•sinβ，
∴AA′=OA-OA′=a（sinα-sinβ）．
故答案為a（sinα-sinβ）．

（2）∵PA=PB，∠AOB=90°，
∴OP=PB=PA，
∴∠POB=α，同理可得∠P′OB=β，
∴∠POP′=α-β，
∴則點P所經過的路線長=$\frac{（α-β）π•\frac{1}{2}a}{180}$=$\frac{（α-β）•π•a}{360}$．

點評 本題考查勾股定理、軌跡、弧長公式、直角三角形斜邊中線定理等知識，解題的關鍵是靈活運用所學知識解決問題，屬于中考常考題型．