Question

7．如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，BC=6，AC=8，將△ABC繞C點旋轉一個角度到△DEC，直線AD，EB交于P點，Q是BC的中點，連PQ，在旋轉過程中，求：
（1）∠BPA的度數；
（2）PQ的最大值．

Answer 1

分析 （1）設∠BCE=∠ACD=α，可得∠CBE=∠CEB=∠CAD=∠CDA=90°-$\frac{1}{2}$α，根據四邊形內角和可得∠BPA=90°；
（2）取AB的中點K，連接PK、QK，則KQ=$\frac{1}{2}$AC=4，PK=AB=5，繼而可得PQ≤KP+KQ=9．

解答 解：（1）∵△DEC是由△ABC繞C點旋轉得到，
∴CE=CB，CD=CA，∠BCE=∠ACD，
設∠BCE=∠ACD=α∴∠CBE=∠CEB=∠CAD=∠CDA=90°-$\frac{1}{2}$α，
∴在四邊形BCDP中，∠BPA=360°-90°-α-2（90°-$\frac{1}{2}$α）=90°；

（2）∵在RT△ABC中，∠ACB=90°，BC=6，AC=8，
∴AB=10，
如圖，取AB的中點K，連接PK、QK，
則KQ=$\frac{1}{2}$AC=4，PK=AB=5，
∴PQ≤KP+KQ=9，
∴PQ的最大值是9．

點評 本題主要考查旋轉的性質、直角三角形的性質及勾股定理、中位線定理，構建以PQ為邊的三角形，根據三角形三邊關系得出PQ的長度范圍是解題的關鍵．