Question

15．如果記y=$\frac{{x}^{2}}{1+{x}^{2}}$=f（x），并且f（1）表示當x=1時y的值，即f（1）=$\frac{{1}^{2}}{1+{1}^{2}}$=$\frac{1}{2}$；f（$\frac{1}{2}$）表示當x=$\frac{1}{2}$時y的值，即f（$\frac{1}{2}$）=$\frac{（\frac{1}{2}）^{2}}{1+（\frac{1}{2}）^{2}}$=$\frac{1}{5}$．
（1）求f（3）=$\frac{9}{10}$；f（$\frac{1}{3}$）=$\frac{1}{10}$．
（2）猜想f（x）與f（$\frac{1}{x}$）的關系，并驗證．

Answer 1

分析 （1）根據f（x）的定義進行代入運算即可．
（2）把$\frac{1}{x}$整體代入f（x）的式子中進行化簡求證．

解答 解：（1）∵$\frac{{x}^{2}}{1+{x}^{2}}$=f（x），
∴令x分別等于3和$\frac{1}{3}$代入上式，
可知：f（3）=$\frac{9}{10}$，f（$\frac{1}{3}$）=$\frac{1}{10}$
（2）f（$\frac{1}{x}$）=$\frac{（\frac{1}{x}）^{2}}{1+（\frac{1}{x}）^{2}}$=$\frac{1}{1+{x}^{2}}$，
∴f（x）+f（$\frac{1}{x}$）=$\frac{1+{x}^{2}}{1+{x}^{2}}$=1
故答案為：（1）$\frac{9}{10}$；$\frac{1}{10}$

點評 本題考查分式的運算，解題的關鍵是正確理解y=$\frac{{x}^{2}}{1+{x}^{2}}$=f（x），然后將具體數字代入運算即可，本題屬于中等題型．