Question

20．如圖，在等腰三角形ABC中，AB=AC，以底邊BC的垂直平分線和BC所在的直線建立平面直角坐標系，拋物線y=0.5x²-3.5x-4經過A、B兩點．若一條與y軸重合的直線l以每秒2個單位長度的速度向右平移，分別交線段OA、CA和拋物線于點E、M和點P，連結PA、PB．設直線l移動的時間為t（0＜t＜4）秒，求四邊形PBCA的面積S（面積單位）與t（秒）的函數關系式，并求出四邊形PBCA的最大面積．

Answer 1

分析 設P（2t，2t²-7t-4），則M（2t，4-t），BC=8，PM=4-t-（2t²-7t-4）=-2t²+6t+8，AE=8-2t，根據S=S_梯形BCMP+S_△PMA，構建二次函數后，由函數的性質可求得S的最大值．

解答 解：對于拋物線y=0.5x²-3.5x-4中，令y=0，得到0.5x²-3.5x-4=0解得x=-1或8，
∴A（8，0），B（0，-4），
∵AB=AC，OA⊥BC，
∴OB=OC，
∴C（0，4），
設直線AC的解析式為y=kx+b，由A（8，0），C（0，4）得到$\left\{\begin{array}{l}{8k+b=0}\\{b=4}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{1}{2}}\\{b=4}\end{array}\right.$，
∴直線AC的解析式為y=-$\frac{1}{2}$x+4，
∵直線l以每秒2個單位長度的速度向右平移，時間為t，
∴OE=2t，設P（2t，2t²-7t-4），則M（2t，4-t），
∵BC=8，PM=4-t-（2t²-7t-4）=-2t²+6t+8，AE=8-2t，
S=S_梯形BCMP+S_△PMA=$\frac{1}{2}$•（-2t²+6t+8+8）×2t+$\frac{1}{2}$（8-2t）（-2t²+6t+8）=-8t²+32t+32=-8（t-2）²+64，
∵-8＜0，
∴t=2時，四邊形PBCA的最大面積為64．

點評 本題考查二次函數綜合題、一次函數的應用、四邊形的面積、三角形的面積等知識，解題的關鍵是學會利用參數解決問題，學會用分割法求四邊形的面積，學會構建二次函數，解決最值問題，屬于中考常考題型．