Question

4．課外興趣小組活動時，老師提出了如下問題：
如圖1，△ABC中，若AB=5，AC=3，求BC邊上的中線AD的取值范圍．
小明在組內經過合作交流，得到了如下的解決方法：延長AD到E，使DE=AD，再連接BE，（或將△ACD繞點D逆時針旋轉180°得到△EBD），把AB、AC、2AD集中在△ABE中，利用三角形的三邊關系可得2＜AE＜8，則1＜AD＜4．
[感悟]解題時，條件中若出現“中點”“中線”字樣，可以考慮構造以中點為對稱中心的中心對稱圖形，把分散的已知條件和所求證的結論集中到同一個三角形中．
（1）解決問題：受到（1）的啟發，請你證明下列命題：如圖2，在△ABC中，D是BC邊上的中點，DE⊥DF，DE交AB于點E，DF交AC于點F，連接EF．
①求證：BE+CF＞EF；
②若∠A=90°，探索線段BE、CF、EF之間的等量關系，并加以證明
（2）問題拓展：如圖3，在四邊形ABDC中，∠B+∠C=180°，DB=DC，∠BDC=120°，以D為頂點作一個60°的角，角的兩邊分別交AB、AC于E、F兩點，連接EF，探索線段BE、CF、EF之間的數量關系，并加以證明．

Answer 1

分析 （1）①延長ED到點G使DG=ED，連結GF，GC，就有EF=GF，連結FG、CG，可證△BED≌△CDG，則CG=BE，由三角形的三邊關系就可以得出結論；②由∠A=90°就可以得出∠A+∠ACB=90°，就可以得出∠FCG=90°，由勾股定理就可以得出結論；
（2）延長AC到G使CG=BE，連結DG可以得出△DBE≌△DCG就有DE=DG，∠BDE=∠CDG，由∠BDC=120°，∠EDF=60°，可以得出∠BDE+∠CDF=60°，進而得出∠FDG=60°，就有∠EDF=∠GDF，得出△EDF≌△GDF，得出結論．

解答 解：（1）①如圖2，延長ED到點G，使DG=ED，連結GF，GC，
∵ED⊥DF，
∴EF=GF，
∵D是BC的中點，
∴BD=CD，
在△BDE和△CDG中，
$\left\{\begin{array}{l}{ED=GD}\\{∠BDE=∠GDC}\\{BD=CD}\end{array}\right.$，
∴△DBE≌△DCG（SAS），
∴BE=CG，
∵CG+CF＞GF，
∴BE+CF＞EF；

②線段BE、CF、EF之間的等量關系為：BE²+CF²=EF²．
證明：如圖2，∵∠A=90°，
∴∠B+∠ACB=90°，
由①可得，△DBE≌△DCG，EF=GF，
∴BE=CG，∠B=∠GCD，
∴∠GCD+∠ACB=90°，即∠GCF=90°，
∴Rt△CFG中，CF²+GC²=GF²，
∴BE²+CF²=EF²；

（2）線段BE、CF、EF之間的數量關系為：EF=BE+CF，
理由：如圖3，延長AC到G，使CG=BE，
∵∠B+∠ACD=180°，∠ACD+∠DCG=180°，
∴∠B=∠DCG，
在△DBE和△DCG中，
$\left\{\begin{array}{l}{BE=GC}\\{∠B=∠DCG}\\{BD=CD}\end{array}\right.$，
∴△DBE≌△DCG（SAS），
∴DE=DG，∠BDE=∠CDG，
∵∠BDC=120°，∠EDF=60°，
∴∠BDE+∠CDF=60°，
∴∠CDG+∠CDF=60°，
∴∠EDF=∠GDF，
在△EDF和△GDF中，
$\left\{\begin{array}{l}{DE=DG}\\{∠EDF=∠GDF}\\{DF=DF}\end{array}\right.$，
∴△EDF≌△GDF（SAS），
∴EF=GF，
∵GF=CG+CF，
∴GF=BE+CF，
∴EF=BE+CF．

點評 本題屬于三角形綜合題，主要考查了全等三角形的判定與性質，三角形的三邊關系，勾股定理以及四邊形的性質的綜合運用，解答時作輔助線構造全等三角形，根據線段的和差關系，運用全等三角形對應邊相等進行推導是解決問題的關鍵．