Question

7．已知等邊△ABC，M是邊BC延長線上一點，連接AM交△ABC的外接圓于點D，延長BD至N，使得BN=AM，連接CN，MN，解答下列問題：
（1）猜想△CMN的形狀，并證明你的結論；
（2）請你證明CN是⊙O的切線；
（3）若等邊△ABC的邊長是2，求AD•AM的值．

Answer 1

分析 （1）根據全等三角形的判定定理得到△BCN≌△ACM，由全等三角形的性質得到CN=CM，∠BCN=∠ACM，求得∠MCN=∠ACB=60°，即可得到結論；
（2）根據全等三角形的性質得到∠ACO=∠BCO=$\frac{1}{2}∠$ACB=30°，根據角的和差得到∠OCN=90°，根據切線的判定定理得到結論；
（3）根據相似三角形的判定和性質即可得到結論．

解答 解：（1）△CMN是等邊三角形，
理由：在△BCN與△ACM中，$\left\{\begin{array}{l}{BC=AC}\\{∠CBN=∠CAM}\\{BN=AM}\end{array}\right.$，
∴△BCN≌△ACM，
∴CN=CM，∠BCN=∠ACM，
∴∠BCN-∠ACN=∠ACM-∠ACN，
即∠MCN=∠ACB=60°，
∴△CMN是等邊三角形；
（2）連接OA．OB．OC，
在△BOC與△AOC中，$\left\{\begin{array}{l}{OA=OB}\\{AC=BC}\\{OC=OC}\end{array}\right.$，
∴△BOC≌△AOC，
∴∠ACO=∠BCO=$\frac{1}{2}∠$ACB=30°，
∵∠ACB=∠MCN=60°，
∴∠ACN=60°，
∴∠OCN=90°，
∴OC⊥CN，
∴CN是⊙O的切線；
（3）∵∠ADB=∠ACB=60°，
∴∠ADB=∠ABC，
∵∠BAD=∠MAB，
∴△ABD∽△AMB，
∴$\frac{AB}{AM}=\frac{AD}{AB}$，
∴AD•AM=AB²=2²=4．

點評 本題考查了切線的判定，全等三角形的判定和性質，相似三角形的判定和性質，等邊三角形的判定和性質，熟練正確相似三角形的判定和性質是解題的關鍵．