Question

2．如圖，等邊△ABC的邊長是6，動點M、N分別同時從B、C出發，沿邊BC、CA以1個單位/秒的速度運動（動點M、N分別到達C、A時停止運動），AM、BN交于點P，運動時間是t秒．
（1）①求證：AM=BN；②求∠BPM的度數；
（2）連接PC，當PC⊥AM時，求t的值；
（3）當M從點B運動至點C時，直接寫出點P運動的路徑長．

Answer 1

分析 （1）①軌跡等邊三角形的性質、全等三角形的判定定理證明△ABM≌△BCN，得到AM=BN；
②根據全等三角形的性質、三角形的外角的性質計算即可；
（2）根據圓內接四邊形的判定和性質得到∠MNC=∠MPC=90°，根據∠NCM=60°列出方程，解方程即可；
（3）根據題意確定點P運動的路徑長，根據弧長公式計算即可．

解答 解：（1）①由題意得，BM=CN，∠ABC=∠ACB=60°，
在△ABM和△BCN中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=BC}\\{∠ABM=∠BCN}\\{BM=CN}\end{array}\right.$，
∴△ABM≌△BCN，
∴AM=BN；
②∵△ABM≌△BCN，
∴∠BAM=∠CBN，
∴∠BPM=∠ABP+∠BAM=∠ABP+∠CBN=60°；
（2）連接MN，
∵∠APN=∠ACM=60°，
∴P、M、C、N四點共圓，
∴∠MNC=∠MPC=90°，
∵∠NCM=60°，
∴MC=2CN，即6-t=2t，
解得，t=2，
答：當PC⊥AM時，t=2；
（3）∵∠BPM=60°，
∴∠APB=120°，
∴點P運動的路徑長是以AB為弦、圓周角∠APB=120°的弓形的弧長，
如圖2，∵∠APB=120°，
∴∠AOB=120°，
∴OB=$\frac{BH}{sin∠BOH}$=2$\sqrt{3}$，
點P運動的路徑長為：$\frac{120π×2\sqrt{3}}{180}$=$\frac{4\sqrt{3}}{3}π$．

點評 本題考查的是全等三角形的判定和性質、直角三角形的性質、點的軌跡的確定，掌握全等三角形的判定定理和性質定理、直角三角形的性質是解題的關鍵．