Question

13．如圖①，正方形ABCD中，點(diǎn)O是對(duì)角線AC的中點(diǎn)，點(diǎn)P是線段AO上（不與A，O重合）的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作PE⊥PB且PE交邊CD于點(diǎn)E．
（1）求證：PB=PE．
（2）如圖②，若正方形ABCD的邊長為2，過E作EF⊥AC于點(diǎn)F，在P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的過程中，PF的長度是否發(fā)生變化？若不變，試求出這個(gè)不變的值；若變化，請(qǐng)說明理由．
（3）如圖③，用等式表示線段PC，PA，CE之間的數(shù)量關(guān)系．

Answer 1

分析 （1）作輔助線，構(gòu)建全等三角形，根據(jù)ASA證明△BMP≌△PNE可得結(jié)論；
（2）如圖2，連接OB，通過證明△OBP≌△FPE，得PF=OB，則PF為定值是$\sqrt{2}$；
（3）根據(jù)△AMP和△PCN是等腰直角三角形，得PA=$\sqrt{2}$PM，PC=$\sqrt{2}$NC，整理可得結(jié)論．

解答 證明：（1）如圖1，過P作MN∥AD，交AB于M，交CD于N，
∵PB⊥PE，
∴∠BPE=90°，
∴∠MPB+∠EPN=90°，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠BAD=∠D=90°，
∵AD∥MN，
∴∠BMP=∠BAD=∠PNE=∠D=90°，
∴∠MPB+∠MBP=90°，
∴∠EPN=∠MBP，
Rt△PNC中，∠PCN=45°，
∴△PNC是等腰直角三角形，
∴PN=CN，
∵∠BMP=∠PNC=∠ABC=90°，
∴四邊形MBCN是矩形，
∴BM=CN，
∴BM=PN，
∴△BMP≌△PNE（ASA），
∴PB=PE；

（2）在P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的過程中，PF的長度不發(fā)生變化，理由是：
如圖2，連接OB，
∵點(diǎn)O是正方形ABCD對(duì)角線AC的中點(diǎn)，
∴OB⊥AC，
∴∠AOB=90°，
∴∠AOB=∠EFP=90°，
∴∠OBP+∠BPO=90°，
∵∠BPE=90°，
∴∠BPO+∠OPE=90°，
∴∠OBP=∠OPE，
由（1）得：PB=PE，
∴△OBP≌△FPE，
∴PF=OB，
∵AB=2，△ABO是等腰直角三角形，
∴OB=$\frac{2}{\sqrt{2}}$=$\sqrt{2}$，
∴PF為定值是$\sqrt{2}$；

（3）如圖1，PC=PA+$\sqrt{2}$EC，理由是：
∵∠BAC=45°，
∴△AMP是等腰直角三角形，
∴PA=$\sqrt{2}$PM，
由（1）知：PM=NE，
∴PA=$\sqrt{2}$NE，
∵△PCN是等腰直角三角形，
∴PC=$\sqrt{2}$NC=$\sqrt{2}$（NE+EC）=$\sqrt{2}$NE+$\sqrt{2}$EC=PA+$\sqrt{2}$EC．

點(diǎn)評(píng) 本題是一個(gè)動(dòng)態(tài)幾何題，考查用正方形性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)、三角形全等的條件和性質(zhì)進(jìn)行有條理的思考和表達(dá)能力．利用條件構(gòu)造三角形全等是解題的關(guān)鍵．本題涉及知識(shí)點(diǎn)較多，綜合性很強(qiáng)，難度適中．