Question

3．如圖，在△ABC中，∠B=90°，AB=4，BC=2，點E從點A出發，以每秒$\sqrt{5}$個單位長度的速度沿邊AC向終點C運動，E點出發的同時，點F從點B出發，以每秒2個單位長度的速度沿邊BA向終點A運動，連結EF，將線段EF繞點F逆時針旋轉90°得到線段FG，以EF、FG為邊作正方形EFGH，設點F運動的時間為t秒（t＞0）
（1）用含t的代數式表示點E到邊AB的距離；
（2）當點G落在邊AB上時，求t的值；
（3）連結BG，設△BFG的面積為S個平方單位（S＞0），求S與t之間的函數關系式；
（4）直接寫出正方形EFGH的頂點H，G分別與點A，C距離相等時的t值．

Answer 1

分析 （1）作垂線段ED，根據三角函數求DE的長，即是點E到邊AB的距離；
（2）當點G落在邊AB上時，如圖2，此時EF⊥AB，根據同角的三角函數列式可求得t的值；
（3）分兩種情況：①當0≤t≤1時，如圖3，作高線GP，根據△GPF≌△FDE，則GP=DF=4-4t，代入面積公式求S即可；②當1＜t≤2時，如圖4，同理作高線求出結論；
（4）當E與C重合，F與A重合時，AH=CG，則t=2．

解答 解：（1）如圖1，過E作ED⊥AB于D，
由題意得：AE=$\sqrt{5}t$，
Rt△ABC中，由勾股定理得：AC=$\sqrt{B{C}^{2}+A{B}^{2}}$=$\sqrt{{2}^{2}+{4}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，
sin∠A=$\frac{DE}{AE}$=$\frac{BC}{AC}$，
∴$\frac{DE}{\sqrt{5}t}$=$\frac{2}{2\sqrt{5}}$，
∴DE=t，
則點E到邊AB的距離是t；
（2）當點G落在邊AB上時，如圖2，此時EF⊥AB，
由（1）得：EF=t，
∵BF=2t，
∴AF=4-2t，
tan∠A=$\frac{BC}{AB}$=$\frac{EF}{AF}$=$\frac{2}{4}$=$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{t}{4-2t}$=$\frac{1}{2}$，
t=1；
（3）分兩種情況：
①當0≤t≤1時，如圖3，過E作ED⊥AB于D，過G作GP⊥AB于P，
∵ED=t，AD=2t，BF=2t，
∴FD=4-4t，
易證△GPF≌△FDE，
∴GP=DF=4-4t，
∴S=S_△BFG=$\frac{1}{2}$BF•GP=$\frac{1}{2}×2t$×（4-4t）=-4t²+4t（0≤t≤1）；
②當1＜t≤2時，如圖4，過E作EM⊥BC于M，過G作GN⊥BC于N，
易證△EMF≌△FNG，
∴GN=FM，
∴EM=t，AM=2t，
∴BM=4-2t，
∴FM=GN=2t-（4-2t）=4t-4，
∴S=S_△BFG=$\frac{1}{2}$BF•GN=$\frac{1}{2}×2t$×（4t-4）=4t²-4t（1＜t≤2）；
綜上所述，S與t之間的函數關系式為：
S=$\left\{\begin{array}{l}{-4{t}^{2}+4t（0≤t≤1）}\\{4{t}^{2}-4t（1＜t≤2）}\end{array}\right.$；

（4）正方形EFGH的頂點H，G分別與點A，C距離相等時，如圖5，此時E與C重合，F與A重合，
∴t=2．

點評 本題是四邊形的綜合題，考查了正方形的性質、全等三角形的判定和性質、勾股定理的運用以及三角形面積的求法等知識點．試題難度不大，需要注意的是（3）問中，在兩動點運動過程中，△BFG的面積符合一個函數關系式，本題的關鍵是用含時間的代數式準確表示BF和AE的長度．