Question

2．如圖，已知二次函數y=ax²+bx+c（a≠0）的圖象與x軸交于點A（-1，0），對稱軸為直線x=1，與y軸的交點B在（0，2）和（0，3）之間（包括這兩點），下列結論：①當x＞3時，y＜0；②a-b+c=0；③-1≤a≤-$\frac{2}{3}$；④4a+2b+c＜2；其中正確的結論是（　　）

• A． ①③④
• B． ①②③
• C． ①②④
• D． ①②③④

Answer 1

分析 ①先由拋物線的對稱性求得拋物線與x軸令一個交點的坐標為（3，0），從而可知當x＞3時，y＜0；②由拋物線與x軸交于點A（-1，0）可知a-b+c=0，③設拋物線的解析式為y=a（x+1）（x-3），則y=ax²-2ax-3a，令x=0得：y=-3a．由拋物線與y軸的交點B在（0，2）和（0，3）之間，可知2≤-3a≤3．④由拋物線與x軸的交點為（-1，0）和（3，0），且開口向下，根據圖象可知當x=2時，y=4a+2b+c＞0．

解答 解：①由拋物線的對稱性可求得拋物線與x軸令一個交點的坐標為（3，0），當x＞3時，y＜0，故①正確；
②∵二次函數y=ax²+bx+c（a≠0）的圖象與x軸交于點A（-1，0），
∴當x=-1時，y=a-b+c=0，故②正確；
③設拋物線的解析式為y=a（x+1）（x-3），則y=ax²-2ax-3a，
令x=0得：y=-3a．
∵拋物線與y軸的交點B在（0，2）和（0，3）之間，
∴2≤-3a≤3．
解得：-1≤a≤-$\frac{2}{3}$，故③正確；
④∵拋物線與x軸的交點為（-1，0）和（3，0），且開口向下，
∴當x=2時，y=4a+2b+c＞0，故④錯誤．
故選：B．

點評 本題主要考查的是二次函數的圖象和性質，掌握拋物線的對稱軸、開口方向與系數a、b、c之間的關系是解題的關鍵．