Question

9．如圖所示，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=60°．
（1）尺規作圖：作線段AB的垂直平分線m（保留作圖痕跡，不寫作法）；
（2）在已作的圖形中，若直線m分別交AB、AC及BC的延長線于點D、E、F．連結AF，若AF=2，求△ABC的周長．

Answer 1

分析 （1）作線段AB的垂直平分線m即可；
（2）先根據線段垂直平分線的性質得出AF=BF，再由∠B=60°得出△ABF為等邊三角形，由等邊三角形三線合一的性質得出BC的長．再由勾股定理求出AC的長，進而可得出結論．

解答 解：（1）如圖，直線M即為所求；

（2）∵直線DF垂直平分線段AB，
∴AF=BF．
∵AF=2，
∴BF=2．
∵∠B=60°．
∴△ABF為等邊三角形，AB=2，
∴由等邊三角形三線合一，AC垂直平分線段BF，BC=$\frac{1}{2}$BF=$\frac{1}{2}$×2=1．
∴Rt△ABC中，AC=$\sqrt{A{B}^{2}-B{C}^{2}}$=$\sqrt{4-1}$=$\sqrt{3}$．
∴△ABC周長=AB+BC+AC=2+1+$\sqrt{3}$=3+$\sqrt{3}$．

點評 本題考查的是作圖-基本作圖、線段垂直平分線的性質、勾股定理及等邊三角形的性質等知識，熟知線段垂直平分線的作法是解答此題的關鍵．