Question

16．已知直線y=-2x+4與x軸、y軸分別交于A、D兩點(diǎn)，拋物線y=ax²-x+c經(jīng)過(guò)點(diǎn)A、D，點(diǎn)B是拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)．
（1）求這條拋物線的解析式及點(diǎn)B的坐標(biāo)；
（2）如果點(diǎn)C（-2，y）在這條拋物線上，在y軸上是否存在點(diǎn)P，使△BCP為等腰三角形？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)直線解析式可求出A與D的坐標(biāo)，然后將A、D的坐標(biāo)代入拋物線的解析式中即可求出a、c的值，然后令y=0代入拋物線的解析式中即可求出B的坐標(biāo)．
（2）設(shè)P（0，m），由（1）可求出點(diǎn)C的坐標(biāo)，然后根據(jù)勾股定理求出BC²、CP²、BP²，由于△BCP為等腰三角形，故分三種情況：BC=CP、BC=BP，BP=CP，然后列出方程求出m的值．

解答 解：（1）令x=0代入y=-2x+4，
∴y=4，
∴D（0，4），
令y=0代入y=-2x+4，
∴x=2，
∴A（2，0），
把A（2，0）和D（0，4）代入y=ax²-x+c，
∴$\left\{\begin{array}{l}{0=4a-2+c}\\{4=c}\end{array}\right.$
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{1}{2}}\\{c=4}\end{array}\right.$
∴拋物線的解析式為：y=-$\frac{1}{2}$x²-x+4
∴令y=0代入y=-$\frac{1}{2}$x²-x+4，
解得：x=2或x=-4
∴B（-4，0）
（2）將C（-2，y）代入y=-$\frac{1}{2}$x²-x+4，
∴y=4，
∴C（-2，4），
設(shè)P（0，m）
∵B（-4，0），C（-2，4）
∴由勾股定理可知：BC²=（-4+2）²+（0-4）²=20，
BP²=（-4-0）²+（0-m）²=16+m²，
CP²=（-2-0）²+（4-m）²=4+（4-m）²，
當(dāng)BC=BP時(shí)，
∴BC²=BP²，
∴20=16+m²，
∴m=±2，
P（0，2）或P（0，-2）
若P（0，2）時(shí)，此時(shí)B、C、P三點(diǎn)共線，
故P（0，-2）
當(dāng)BC=CP時(shí)，
∴BC²=CP²，
∴20=4+（4-m）²
∴m=0或m=-8，
∴P（0，0）或P（0，-8），
當(dāng)BP=CP時(shí)，
∴BP²=CP²，
∴16+m²=4+（4-m）²，
解得：m=$\frac{1}{2}$，
∴P（0，$\frac{1}{2}$），
綜上所述，P的坐標(biāo)為：（0，-2）、（0，0）、（0，-8）、（0，$\frac{1}{2}$）

點(diǎn)評(píng) 本題考查二次函數(shù)的綜合問(wèn)題，涉及勾股定理，待定系數(shù)法求解析式，一元二次方程的解法，等腰三角形的性質(zhì)與判定，綜合程度較高，需要學(xué)生綜合運(yùn)用所學(xué)的知識(shí)．