Question

6．已知，如圖，在Rt△ABC中，AC=6，BC=8，D邊AB上一點，連接CD，過點D作DE⊥DC交BC于E，把△BDE沿DE翻折得△DEB₁，連接B₁C．
（1）證明：∠ADC=∠B₁DC；
（2）當B₁E∥AC時，求折痕的長；
（3）當△B₁CD是等腰三角形時，求AD的長．

Answer 1

分析 （1）由折疊的性質得∠BDE=∠B₁DE，由垂直的定義得到DE⊥DC，根據余角的性質即可得到∠ADC=∠B₁DC；
（2）延長B₁E交AB于F，根據全等三角形的判定定理得到△BDG≌△B₁FD，由全等三角形的性質得到DF=DG，
推出△ADC≌△GDC，根據全等三角形的性質得到DG=AD，等量代換得到DF=AD=DG，設DF=AD=DG=x，求得BF=8-2x，根據相似三角形的性質得到EF=$\frac{12-3x}{2}$，
由于△EFD∽△ACD，得到$\frac{DF}{AC}$=$\frac{EF}{AD}$，求得BF=3，EF=$\frac{3}{2}$，于是得到結論；
（3）設AD=x，則CD=$\sqrt{{x}^{2}+36}$，BD=8-x，①當B₁D=B₁C時，則∠B₁DC=∠B₁CD，根據折疊的性質得到DB₁=BD=8-x，過B₁作B₁F⊥CD，求得DF=CF=$\frac{1}{2}$CD=$\frac{\sqrt{{x}^{2}+36}}{2}$，根據相似三角形的性質得到$\frac{{B}_{1}D}{CD}$=$\frac{DF}{AD}$，即$\frac{8-x}{\sqrt{{x}^{2}+36}}$=$\frac{\frac{\sqrt{{x}^{2}+36}}{2}}{x}$，由此方程無實數根，得到B₁D≠B₁C，②B₁D=CD時，得到B₁D=CD=BD=8-x，根據勾股定理列方程得到結論；③當CD=B₁C時，過C作CH⊥DB₁，根據全等三角形的性質得到AD=DH=x，于是得到結論．

解答 （1）證明：由折疊的性質得：∠BDE=∠B₁DE，
∵DE⊥DC，
∴∠ADC=180°-90°-∠BDE=90°-∠BDE，∠B₁DC=90-∠B₁DE，
∴∠ADC=∠B₁DC；

（2）解：延長B₁E交AB于F，
∵B₁E∥AC，∠A=90°，
∴B₁F⊥AB，
∴∠EB₁D+∠BDB₁=90°，
∵∠B=∠EB₁D，
∴∠B+BDB₁=90°，
∴∠BGD=90°，
在△BDG和△B₁FD中，$\left\{\begin{array}{l}{∠B=∠E{B}_{1}D}\\{∠BGD=∠{B}_{1}FD}\\{BD=D{B}_{1}}\end{array}\right.$，
∴△BDG≌△B₁FD，
∴DF=DG，
在△ADC和△GDC中，$\left\{\begin{array}{l}{∠ADC=∠CDG}\\{∠A=∠DGC=90°}\\{DC=DC}\end{array}\right.$，
∴△ADC≌△GDC，
∴DG=AD，
∴DF=AD=DG，
設DF=AD=DG=x，
∴BF=8-2x，
∵EF∥AC，
∴△BFE∽△BAC，
∴$\frac{EF}{AC}$=$\frac{BF}{AB}$，
∴EF=$\frac{12-3x}{2}$，
∵△EFD∽△ACD，
∴$\frac{DF}{AC}$=$\frac{EF}{AD}$，
∴$\frac{x}{6}$=$\frac{\frac{12-3x}{2}}{x}$，
解得：x=3，
∴BF=3，EF=$\frac{3}{2}$，
∴DE=$\frac{3\sqrt{5}}{2}$；

（3）解：設AD=x，
則CD=$\sqrt{{x}^{2}+36}$，BD=8-x，
∵△B₁CD是等腰三角形，
①當B₁D=B₁C時，則∠B₁DC=∠B₁CD，
∴DB₁=BD=8-x，
如圖2，過B₁作B₁F⊥CD，
則DF=CF=$\frac{1}{2}$CD=$\frac{\sqrt{{x}^{2}+36}}{2}$，
∵∠ADC=∠B₁DC，∠B₁FD=∠A=90°，
∴△CDA∽△B₁DC，
∴$\frac{{B}_{1}D}{CD}$=$\frac{DF}{AD}$，即$\frac{8-x}{\sqrt{{x}^{2}+36}}$=$\frac{\frac{\sqrt{{x}^{2}+36}}{2}}{x}$，
∴3x²-16x+36=0，
∵此方程無實數根，
∴B₁D≠B₁C，
②B₁D=CD時，
∴B₁D=CD=BD=8-x，
∴（8-x）²=x²+6²，
∴x=$\frac{7}{4}$，
∴AD=$\frac{7}{4}$，
③當CD=B₁C時，如圖2，過C作CH⊥DB₁，
則DH=B₁H=$\frac{1}{2}$DB₁=$\frac{1}{2}$BD=$\frac{1}{2}$（8-x），
在△ACD和△CHD中$\left\{\begin{array}{l}{∠ADC=∠CDH}\\{∠A=∠CHD=90°}\\{CD=CD}\end{array}\right.$，
∴△ACD≌△CHD，
∴AD=DH=x，
∴x=$\frac{1}{2}$（8-x），
∴x=$\frac{8}{3}$，
∴AD=$\frac{8}{3}$，
綜上所述：當△B₁CD是等腰三角形時，AD的長為$\frac{7}{4}$或$\frac{8}{3}$．

點評 本題考查了全等三角形的判斷和性質，相似三角形的判定和性質，勾股定理等腰三角形的性質，正確的理解題意是解題的關鍵．