Question

11．等邊△ABC外有一點P，設P到三邊的距離分別為h₁，h₂，h₃，且h₁-h₂+h₃=6，則△ABC的面積為12$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 根據等邊三角形的面積即可計算（h₁-h₂+h₃）是等邊三角形ABC的高，根據等邊三角形的高即可求得BC的值，即可求得△ABC的面積，即可解題．

解答 解：設等邊△ABC的邊長為a，連接PA、PB、PC，
則S_△PAB+S_△PBC-S_△PAC=S_△ABC，
從而$\frac{1}{2}$ah₁-$\frac{1}{2}$ah₂+$\frac{1}{2}$ah₃=$\frac{\sqrt{3}}{4}$a²，
即 $\frac{1}{2}$a（h₁-h₂+h₃）=$\frac{\sqrt{3}}{4}$a²，
∵h₁-h₂+h₃=6，
∴a=4$\sqrt{3}$，
∴S_△ABC=$\frac{\sqrt{3}}{4}$a²=12$\sqrt{3}$．
故答案為12$\sqrt{3}$．

點評 本題主要考查了等邊三角形面積的計算，等邊三角形高線長與邊長的關系，本題中根據等邊三角形的高計算等邊三角形的面積是解題的關鍵．