Question

19．如圖，將邊長為8厘米的正方形紙片ABCD折疊，使點D落在BC邊中點E處，點A落在點F處，折痕為MN，則線段MN的長是4$\sqrt{5}$cm．

Answer 1

分析 過點M作MF⊥CD于F，根據(jù)翻折變換的性質(zhì)可得MN⊥DE，然后求出∠MNF=∠DEC，再利用“角角邊”證明△DCE和△MFN全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得MN=DE，再利用勾股定理列式求出DE，從而得解．

解答 解：如圖，過點M作MF⊥CD于F，
易得四邊形AMFD是矩形，
所以，MF=AD，
由翻折變換的性質(zhì)得MN⊥DE，
∵∠CDE+∠MNF=90°，
∠CDE+∠DEC=90°，
∴∠MNF=∠DEC，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴AD=CD，
∴MF=CD，
在△DCE和△MFN中，$\left\{\begin{array}{l}{∠MNF=∠DEC}\\{∠MFN=∠C=90°}\\{MF=CD}\end{array}\right.$，
∴△DCE≌△MFN（AAS），
∴MN=DE，
∵點E是BC的中點，
∴CE=$\frac{1}{2}$BC=$\frac{1}{2}$×8=4cm，
在Rt△CDE中，由勾股定理得，DE=$\sqrt{C{D}^{2}+C{E}^{2}}$=$\sqrt{{8}^{2}+{4}^{2}}$=4$\sqrt{5}$cm，
所以，MN的長為4$\sqrt{5}$cm．
故答案為：4$\sqrt{5}$cm．

點評 本題考查了翻折變換的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，作輔助線構(gòu)造出全等三角形是解題的關(guān)鍵，也是本題的難點．