Question

9．已知拋物線C₁：y=ax²+bx-1經(jīng)過點（1，-$\frac{1}{2}$）和點（-1，-$\frac{5}{2}$）．
（1）求拋物線C₁的解析式；
（2）將拋物線C₁平移，平移后的拋物線C₂與x軸兩交點分別是A、B，與y軸交于點C，且頂點縱坐標(biāo)是10，那么能否滿足△ABC是直角三角形？若能滿足，請求出拋物線C₂的解析式；若不能，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）將（1，-$\frac{1}{2}$）和點（-1，-$\frac{5}{2}$）代入y=ax²+bx-1求出a與b的值．
（2）先將拋物線C₂為y=-$\frac{1}{2}$（x-h）²+k，由題意可知k=10，然后令y=0，求出A、B、C，然后根據(jù)勾股定理求出h的值即可．

解答 解：（1）（1，-$\frac{1}{2}$）和點（-1，-$\frac{5}{2}$）代入y=ax²+bx-1，
∴$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{1}{2}=a+b-1}\\{-\frac{5}{2}=a-b-1}\end{array}\right.$
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{1}{2}}\\{b=1}\end{array}\right.$
∴拋物線的解析式為：y=-$\frac{1}{2}$x²+x-1
（2）拋物線C₁為：y=-$\frac{1}{2}$（x-1）²-$\frac{1}{2}$
設(shè)拋物線C₂的解析式為：y=-$\frac{1}{2}$（x-h）²+k
∵由平移后拋物線的頂點縱坐標(biāo)是10，
∴k=10，
令y=0代入y=-$\frac{1}{2}$（x-h）²+10，
∴x=h±2$\sqrt{5}$
∴A（h+2$\sqrt{5}$，0），B（h-2$\sqrt{5}$，0）
∴AB=4$\sqrt{5}$
令x=0代入y=-$\frac{1}{2}$（x-h）²+10，
∴y=10-$\frac{1}{2}$h²，
∴C（0，10-$\frac{1}{2}$h²）
∴AC²=（h+2$\sqrt{5}$）²+（-10+$\frac{1}{2}$h²）²
BC²=（h-2$\sqrt{5}$）²+（-10+$\frac{1}{2}$h²）²
當(dāng)A為直角頂點時，
由勾股定理可知：BC²=AB²+AC²，
∴（h-2$\sqrt{5}$）²+（-10+$\frac{1}{2}$h²）²=80+（h+2$\sqrt{5}$）²+（-10+$\frac{1}{2}$h²）²
∴解得：h=-2$\sqrt{5}$，
當(dāng)B是直角頂點時，
由勾股定理可知：AC²=AB²+BC²，
∴（h+2$\sqrt{5}$）²+（-10+$\frac{1}{2}$h²）²=80+（h-2$\sqrt{5}$）²+（-10+$\frac{1}{2}$h²）²
∴解得：h=2$\sqrt{5}$
當(dāng)C是直角頂點時，
由勾股定理可知：AB²=AC²+BC²，
∴80=（h+2$\sqrt{5}$）²+（-10+$\frac{1}{2}$h²）²+（h-2$\sqrt{5}$）²+（-10+$\frac{1}{2}$h²）²
化簡為：$\frac{1}{2}$h⁴-18h²+160=0，
∴解得：h²=20或h²=16，
∴h=±2$\sqrt{5}$，h=±4，
綜上所述，拋物線C₂的解析式為：y=-$\frac{1}{2}$（x±2$\sqrt{5}$）²+k或y=-$\frac{1}{2}$（x±4）²+k

點評 本題考查二次函數(shù)的綜合問題，涉及勾股定理，一元二次方程的解法，待定系數(shù)法求解析式，本題綜合較高，綜合考查學(xué)生的靈活運用知識的能力．